Question

設(shè)，兩個(gè)函數(shù)，的圖像關(guān)于直線對稱.

（1）求實(shí)數(shù)滿足的關(guān)系式；

（2）當(dāng)取何值時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

（3）當(dāng)時(shí)，在上解不等式．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于某條直線對稱，一般都是設(shè)是一個(gè)函數(shù)圖象上的任一點(diǎn)，求出這個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)，而點(diǎn)就在第二個(gè)函數(shù)的圖象上，這樣就把兩個(gè)函數(shù)建立了聯(lián)系；（2）函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，一般是求，通過討論函數(shù)的單調(diào)性，最值，從而討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，當(dāng)然本題中由于與的圖象關(guān)于直線對稱，因此的唯一零點(diǎn)也就是它們的的唯一交點(diǎn)必在直線上，這個(gè)交點(diǎn)是函數(shù)圖象與直線的切點(diǎn)，這樣我們可從切線方面來解決問題；（3）考慮，

當(dāng)然要解不等式，還需求，討論的單調(diào)性，極值，從而確定不等式的解集．

試題解析：（1）設(shè)是函數(shù)圖像上任一點(diǎn)，則它關(guān)于直線對稱的點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，，.

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，兩個(gè)函數(shù)的圖像有且只有一個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)函數(shù)關(guān)于直線對稱，兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)就是函數(shù)，的圖像與直線的切點(diǎn).

設(shè)切點(diǎn)為，，，，,

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

（3）當(dāng)時(shí)，設(shè) ，則

，當(dāng)時(shí)，，，

當(dāng)時(shí)，，．

在上是減函數(shù).

又＝0，不等式解集是．

考點(diǎn)：（1）兩個(gè)函數(shù)圖象的對稱問題；（2）函數(shù)的零點(diǎn)與切線問題；（3）解函數(shù)不等式．