Question

（理科做）直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=DC=2，BC=1，∠ADC=90°，下列結論：
①該直棱柱的體積一定是6
②用一平面去截直四棱柱，截面可能為三角形，四邊形，五邊形和六邊形；
③M∈平面ABCD，D₁M⊥平面A₁C₁D，則DM=2

2

；
④M∈平面ABCD，D₁M⊥平面A₁C₁D，設D₁M∩平面A₁C₁D=O，則

OC1

+

OA1

=

DO

；
⑤M∈平面ABCD，D₁M⊥平面A₁C₁D，設D₁M∩平面A₁C₁D=O，則D₁O：OM=1：2；
其中你認為正確的所有結論的序號是

 

．（寫出所有正確命題的編號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：空間位置關系與距離

分析：①由于底面積的大小不確定，因此其體積也不確定；
②其截面可能為三角形，四邊形，五邊形和六邊形；
③建立如圖所示的空間直角坐標系，可設M（x，y，2），利用D₁M⊥平面A₁C₁D，可得

D1M • A1C1 =0 D1M • A1D =0

，
解出即可；
④由③可知：M（2，2，2），點O為線段D₁M的中點，即為等邊三角形A₁C₁D的中心．
由重心定理即可得出；
⑤由④即可判斷出．

解答： 解：如圖所示，
①由于底面積的大小不確定，因此其體積也不確定，故該直棱柱的體積一定是6不正確；
②用一平面去截直四棱柱，截面可能為三角形，四邊形，五邊形和六邊形，正確；
③建立如圖所示的空間直角坐標系，D₁（0，0，0），A₁（2，0，0），
C₁（0，2，0），D（0，0，2）．
則

A1C1

=（-2，2，0），

A1D

=（-2，0，2），
∵M∈平面ABCD，可設M（x，y，2），則

D1M

=（x，y，2）．
∵D₁M⊥平面A₁C₁D，∴

D1M • A1C1 =0 D1M • A1D =0

，即

-2x+2y=0 -2x+4=0

，解得

x=2 y=2

．
∴M（2，2，2），∴|DM|=

22+22+0

=2

2

，因此正確；
④M∈平面ABCD，D₁M⊥平面A₁C₁D，設D₁M∩平面A₁C₁D=O，
由③可知：M（2，2，2），點O為線段D₁M的中點，即為等邊三角形A₁C₁D的中心．
由重心定理可得：

OC1

+

OA1

=

DO

，因此正確；
⑤M∈平面ABCD，D₁M⊥平面A₁C₁D，設D₁M∩平面A₁C₁D=O，則D₁O：OM=1：2，由④可知不正確．
綜上可知：只有②③④正確．
故答案為：②③④．

點評：本題考查了通過建立空間直角坐標系解決線面垂直的問題、正方體的性質、等邊三角形的重心與中心的性質等基礎知識與基本技能方法，考查了空間想象能力和推理能力，屬于難題．