Question

經(jīng)銷商用一輛J型卡車將某種水果從果園運送（滿載）到相距400km的水果批發(fā)市場．據(jù)測算，J型卡車滿載行駛時，每100km所消耗的燃油量u（單位：L）與速度v（單位：km/h）的關(guān)系近似地滿足u=

100 v +23，0＜v≤50 v2 500 +20，v＞50

除燃油費外，人工工資、車損等其他費用平均每小時300元．已知燃油價格為每升（L）7.5元．
（1）設(shè)運送這車水果的費用為y（元）（不計返程費用），將y表示成速度v的函數(shù)關(guān)系式；
（2）卡車該以怎樣的速度行駛，才能使運送這車水果的費用最少？

Answer 1

分析：（1）由題意，當(dāng)0＜v≤50時，y=7.5•

400

100

μ+300•

400

v

=

123000

v

+690，當(dāng)v＞50時，y=7.5•

400

100

μ+300•

400

v

=

3v2

50

+

120000

v

+600，由此能將y表示成速度v的函數(shù)關(guān)系式．
（2）當(dāng)0＜v≤50時，y=

123000

v

+690是單調(diào)減函數(shù)，故v=50時，y取得最小值ymin=

123000

v

+690=3150，當(dāng)v＞50時，y=

3v2

50

+

120000

v

+600，由導(dǎo)數(shù)求得當(dāng)v=100時，y取得最小值ymin=

3×1002

50

+

120000

100

+600=2400，由于3150＞2400，知當(dāng)卡車以100km/h的速度行駛時，運送這車水果的費用最少．

解答：解：（1）由題意，當(dāng)0＜v≤50時，
y=7.5•

400

100

μ+300•

400

v

=30•(

100

v

+23)+300•

400

v

=

123000

v

+690，
當(dāng)v＞50時，y=7.5•

400

100

μ+300•

400

v

=30(

v2

500

+20)+300•

40

v

=

3v2

50

+

120000

v

+600，
∴y=

123000 v +690，0＜v≤50 3v2 50 + 120000 v +600，v＞50

．
（2）當(dāng)0＜v≤50時，
y=

123000

v

+690是單調(diào)減函數(shù)，
故v=50時，y取得最小值ymin=

123000

v

+690=3150，
當(dāng)v＞50時，y=

3v2

50

+

120000

v

+600，
由y′=

3v

25

-

120000

v2

=

3( v3-10 6)

25v2

=0，
得v=100．
當(dāng)50＜v＜100時，y′＜0，
函數(shù)y=

3v2

50

+

120000

v

+600單調(diào)遞增，
∴當(dāng)v=100時，y取得最小值ymin=

3×1002

50

+

120000

100

+600=2400，
由于3150＞2400，
所以，當(dāng)v=100時，y取得最小值．
答：當(dāng)卡車以100km/h的速度行駛時，運送這車水果的費用最少．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值的應(yīng)用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．