Question

已知函數(shù)f（x）是R上偶函數(shù)，對于x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，f（x）在區(qū)間[0，3]上是增函數(shù)，則f（x）在[-9，9]上零點個數(shù)是（　�。�

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：由題意令x=-3，可得f（-3）=0，進而可得f（3）=0，代入可得f（x）是以6為周期的函數(shù)，結(jié)合單調(diào)性可作出函數(shù)的大致圖象，易得零點的個數(shù)．

解答：解：在f（x+6）=f（x）+f（3）中，令x=-3可得，f（3）=f（-3）+f（3），即f（-3）=0，
由函數(shù)y=f（x）是R上偶函數(shù)，可得f（x+6）=f（x）+f（3）=f（x）+f（-3）=f（x），即f（x）是以6為周期的函數(shù)，
又由函數(shù)y=f（x）是R上偶函數(shù)，f（x）在[0，3]上為單調(diào)增函數(shù)，則f（x）在[-3，0]上為減函數(shù)，
由以上性質(zhì)可作出函數(shù)的圖象，

由圖可知，f（x）在[-9，9]上零點個數(shù)是4，
故選D．

點評：本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，涉及函數(shù)奇偶性，單調(diào)性的應(yīng)用；關(guān)鍵是根據(jù)題意，分析出f（x）的周期性、單調(diào)性以及f（3）的值，屬中檔題．