Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝1，AD＝2，且PA⊥平面ABCD，PD與底面成30°角．

(Ⅰ)求證：平面APB⊥平面CPB；

(Ⅱ)求二面角A－PC－B的大小；

(Ⅲ)若AE⊥PD，E為垂足，求異面直線AE與CD所成角的大小．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)證明：∵，∴．　　1分 　　∵底面，∴．　　2分 　　又∵，∴平面．　　3分 　　∵平面，∴平面平面．　　4分 　　(Ⅱ)解：作，垂足為． 　　∵平面平面，平面平面， 　　∴平面． 　　作，垂足為，連結(jié)，由三垂線定理，得， 　　∴是二面角的平面角．　　6分 　　∵與底面成角，∴． 　　∴． 　　∴． 　　在中，，　　7分 　　在中，，　　8分 　　∴在中，． 　　因此，二面角的平面角為．　　9分 　　(Ⅲ)設(shè)、分別為、的中點，連結(jié)、、，則． 　　∵，且，∴四邊形為平行四邊形，∴． 　　∴或它的補(bǔ)角就是異面直線與所成角．　　11分 　　∵，∴平面． 　　又∵，∴． 　　∵，∴． 　　∵， 　　　　12分 　　∴在中，．　　13分 　　因此，異面直線與所成角為．　　14分