Question

設(shè)g（x）=（a-1）x-bf（x），其中f（x）=ln（x+1），a＞0，且g（e-1）=（b-1）（e-1）-a
（e為自然對數(shù)的底數(shù)）
（1）求a與b的關(guān)系；
（2）若g（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，求f（a）的取值范圍；
（3）證明：①g（x）≥-x（x＞-1）；
②（n∈N^*且n≥2）

Answer 1

【答案】分析：（1）、將x=e-1代入g（x），將等式兩邊相等便可求出a與b的關(guān)系；
（2）、先求出g（x）的導(dǎo)函數(shù)g'（x），令g'（x）≤0，便可求出a的取值范圍，根據(jù)a的取值范圍可以求出f（a）的取值范圍；
（3）①令p（x）=g（x）+x，先求出導(dǎo)函數(shù)p'（x），根據(jù)p'（x）求出函數(shù)的單調(diào)性，進而求得p（x）在（-1，+∞）的最小值為0，即可證明；
②、根據(jù)①的結(jié)論可以求出和f′（n-1）f′（n）的函數(shù)表達式，將二者的表達式代入其中，逐步化簡便可證明敢不等式．
解答：解：（1）g（e-1）=（a-1）（e-1）-bln（e-1+1）
=（a-1）（e-1）-b=（b-1）（e-1）-a
則（a-b）（e-1）+（a-b）=0即（a-b）e=0，
∴a=b（3分）
（2）由（1）g（x）=（a-1）x-aln（x+1），（4分）
g（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，則g'（x）≤0在區(qū)間上恒成立（5分）
由g'（x）≤0得即
而，則（a-1）x-1≤0區(qū)間上恒成立
令ϕ（x）=（a-1）x-1，
則⇒
而a＞0，則（7分）
由知
故f（a）的取值范圍為（8分）
（3）證明：①令p（x）=g（x）+x=ax-aln（x+1）（x＞-1）
則，由p'（x）＞0得x＞0
∴p（x）在（-1，0）上遞減，在（0，+∞）上遞增，
∴p（x）≥p（0）=0
即g（x）≥-x（x＞-1）（10分）
②由①易知x≥ln（x+1），
∴當(dāng)n≥2時，ln[（n²-1）+1]≤n²-1，即
∴當(dāng)n≥2時，
，
（1）
∴n∈N^*且n≥2時

=
=
≥
=[（1-）+（）+…+（）]-（）
=（1+--）+（）
=1-≥．
點評：本題主要考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值問題，以及利用導(dǎo)函數(shù)證明不等式，本題綜合性較強，是各地高考的熱點和難點，屬于中檔題，同學(xué)們要加強訓(xùn)練．