Question

定義在R上的函數(shù)f（x），如果存在函數(shù)g（x）=kx+b（k，b為常數(shù)），使得f（x）≥g（x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則稱g（x）為函數(shù)f（x）的一個(gè)承托函數(shù)．
現(xiàn)有如下函數(shù)：
①f（x）=x³；
②f（x）=2^-x；
③；
④f（x）=x+sinx．
則存在承托函數(shù)的f（x）的序號(hào)為_(kāi)_______．（填入滿足題意的所有序號(hào)）

Answer 1

②
分析：函數(shù)g（x）=kx+b（k，b為常數(shù)）是函數(shù)f（x）的一個(gè)承托函數(shù)，即說(shuō)明函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）的上方（至多有一個(gè)交點(diǎn)），若函數(shù)的值域?yàn)镽，則顯然不存在承托函數(shù)．
解答：函數(shù)g（x）=kx+b（k，b為常數(shù)）是函數(shù)f（x）的一個(gè)承托函數(shù)，即說(shuō)明函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）的上方（至多有一個(gè)交點(diǎn)）
①f（x）=x³的值域?yàn)镽，所以不存在函數(shù)g（x）=kx+b，使得函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）的上方，故不存在承托函數(shù)；
②f（x）=2^-x＞0，所以y=A（A≤0）都是函數(shù)f（x）的承托函數(shù)，故②存在承托函數(shù)；
③∵的值域?yàn)镽，所以不存在函數(shù)g（x）=kx+b，使得函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）的上方，故不存在承托函數(shù)；
④求導(dǎo)函數(shù)f′（x）=1+cosx，則f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，∴f（x）=x+sinx的值域?yàn)镽，所以不存在函數(shù)g（x）=kx+b，使得函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）的上方，故不存在承托函數(shù)；
故答案為：②
點(diǎn)評(píng)：本題是新定義題，考查對(duì)題意的理解和轉(zhuǎn)化的能力，要說(shuō)明一個(gè)命題是正確的，必須給出證明，對(duì)于存在性命題的探討，只需舉例說(shuō)明即可，對(duì)于不正確的命題，舉反例即可，有一定的綜合性．