Question

從橢圓C₁：（a＞b＞0）和拋物線C₂：x²=2py（p＞0）上各取兩點．將其坐標記錄于表中：

x	-3	0	1
y

（1）求橢圓C₁和拋物線C₂的方程；
（2）橢圓C₁和拋物線C₂的交點記為A、B，點M為橢圓上任意一點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用=2p（常數(shù)）判斷哪兩點在拋物線C₂上，從而另外兩點在橢圓C₁上．再利用待定系數(shù)法，即可求出橢圓C₁和拋物線C₂的方程；
（2）設(shè)點M的坐標為（x，y），利用數(shù)量積的坐標公式將轉(zhuǎn)化成x，y的式子，結(jié)合點M在橢圓C₁上可得x，y滿足的關(guān)系式，從而將表示成關(guān)于y的代數(shù)式，利用配方法并根據(jù)y的范圍加以計算，即可得到的取值范圍．
解答：解：（1）根據(jù)拋物線方程x²=2py，經(jīng)驗證知點（-3，）、（1，）在拋物線C₂上，
由此可得（-3）²=2p×，解得2p=4，拋物線C₂方程為x²=4y，
∵點（0，）、（，）在橢圓C₁上，
∴，解之得a²=8，b²=2，得橢圓C₁方程為；
（2）將橢圓C₁方程與拋物線方程聯(lián)解，得A（-2，1），B（2，1）
設(shè)點M的坐標為（x，y），可得，
∴=（-2-x）（2-x）+（1-y）（1-y）=x²-4+y²-2y+1
結(jié)合橢圓方程，化簡得=-3-2y+5=-3（y+）²+
∵y∈[-2，2]，∴-3（y+）²+∈[-1-，]
即的取值范圍[-1-，]．
點評：本題給出橢圓拋物線經(jīng)過的定點，求它們的方程并研究的取值范圍，著重考查了橢圓、拋物線的標準方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．