Question

16．質檢部門從某超市銷售的甲、乙兩種食用油中分劃隨機抽取100桶檢測某項質量指標，由檢測結果得到如圖的頻率分布直方圖：
（I）寫出頻率分布直方圖（甲）中a的值；記甲、乙兩種食用油100桶樣本的質量指標的方差分別為s₁²，s₂²，試比較s₁²，s₂²的大�。ㄖ灰�求寫出答案）；
（Ⅱ）估計在甲、乙兩種食用油中隨機抽取1捅，恰有一個桶的質量指標大于20，且另一個不大于20的概率；
（Ⅲ）由頻率分布直方圖可以認為，乙種食用油的質量指標值Z服從正態(tài)分布N（μ，δ²）．其中μ近似為樣本平均數(shù)$\overline{x}$，δ²近似為樣本方差s₂²，設X表示從乙種食用油中隨機抽取lO桶，其質量指標值位于（14.55，38.45）的桶數(shù)，求X的散學期望．
注：①同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)問的中點值作代表，計算得s₂=$\sqrt{142.75}$≈11.95；
②若Z-N（μ，δ²），則P（μ-δ＜Z＜μ+δ）=0.6826，P（μ-2δ＜Z＜μ+2δ）=0.9544．

Answer 1

分析 （Ⅰ）按照題目要求想結果即可．
（Ⅱ）設事件A，事件B，事件C，求出P（A），P（B），P（C）即可；
（Ⅲ）求出從乙種食用油中隨機抽取lO桶，其質量指標值位于（14.55，38.45）的概率是0.6826，得到X～B（10，0.6826），求出EX即可．

解答 解：（Ⅰ）a=0.015，s₁²＞s₂²；
（Ⅱ）設事件A：在甲種食用油中隨機抽取1捅，其質量指標不大于20，
事件B：在乙種食用油中隨機抽取1捅，其質量指標不大于20，
事件C：在甲、乙兩種食用油中隨機抽取1捅，恰有一個桶的質量指標大于20，且另一個不大于20，
則P（A）=0.20+0.10=0.3，P（B）=0.10+0.20=0.3，
∴P（C）=P（$\overline{A}$）P（B）+P（A）P（$\overline{B}$）=0.42；
（Ⅲ）計算得：$\overline{x}$=26.5，由條件得Z～N（26.5，142.75），
從而P（26.5-11.95＜Z＜26.5+11.95）=0.6826，
∴從乙種食用油中隨機抽取lO桶，其質量指標值位于（14.55，38.45）的概率是0.6826，
依題意得X～B（10，0.6826），
∴EX=10×0.6826=6.826．

點評 本題考查離散型隨機變量的期望的求法，獨立重復試驗概率的求法，考查計算能力．