Question

10．已知函數(shù)f（x）=cos（2ωx-$\frac{π}{3}$）+sin²ωx-cos²ωx（ω＞0）的最小正周期是π．
（1）求函數(shù)f（x）圖象的對稱軸方程；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角的正弦公式，兩角差的余弦、正弦公式化簡解析式，由周期公式求出ω的值，由正弦函數(shù)的對稱軸求出函數(shù)f（x）圖象的對稱軸方程；
（2）由正弦函數(shù)的增區(qū)間、整體思想求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：（1）由題意得，f（x）=$\frac{1}{2}$cos2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-cos2ωx
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx=$sin（2ωx-\frac{π}{6}）$，
∴最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$=π，解得ω=1，則f（x）=$sin（2x-\frac{π}{6}）$ 
由$2x-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+kπ（k∈Z）$ 得，$x=\frac{π}{3}+\frac{kπ}{2}（k∈Z）$，
∴f（x）圖象的對稱軸方程是$x=\frac{π}{3}+\frac{kπ}{2}（k∈Z）$；
（2）由（1）得f（x）=$sin（2x-\frac{π}{6}）$，
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$ 得，
$kπ-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}（k∈Z）$，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是$[kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{3}]（k∈Z）$．

點評 本題考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，二倍角的正弦公式，以及兩角差的余弦、正弦公式，考查化簡、變形能力．