Question

已知點(diǎn)P在雙曲線x²-y²=a²（a＞0）的右支上，A₁，A₂分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，且∠A₂PA₁=2∠PA₁A₂，則∠PA₁A₂=

 

．

Answer 1

分析：由題意設(shè)∠PA₁A₂=α，則∠PA₂X=3α．利用坐標(biāo)表示出PA₁的斜率，PA₂的斜率，借助于雙曲線的方程得出斜率之積為1，從而可求．

解答：解：設(shè)∠PA₁A₂=α，則∠PA₂X=3α．設(shè)P（x，y），A₁（-a，0），A₂（a，0）．

PA₁的斜率 k₁=tanα=

y

x+a

，PA₂的斜率 k₂=tan3α=

y

x-a

∵k₁k₂=

y

x+a

×

y

x-a

=

y2

x2-a2

  =1，∴tanαtan3α=1，∴tan3α=cotα=tan（

π

2

-α）．

∵?3α是銳角，必有 3α=

π

2

-α，∴?α=

π

8

．
故答案為

π

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，解題時(shí)利用雙曲線的方程得出斜率之積為1是關(guān)鍵．