Question

要將兩種大小不同的鋼板截成A、B、C三種規(guī)格，每張鋼板可同時截得三種規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)如下表所示：

規(guī)格類型	A規(guī)格	B規(guī)格	C規(guī)格
鋼板類型
第一種鋼板	2	1	1
第二種鋼板	1	2	3

今需A、B、C三種規(guī)格的成品分別為15、18、27塊，問各截這兩種鋼板多少張可得所需三種規(guī)格成品，且使所用鋼板張數(shù)最少？

Answer 1

分析：根據(jù)條件設(shè)第一種鋼板x張，第二種鋼板y張，鋼板總數(shù)z張，建立約束條件和目標(biāo)函數(shù)，利用線性規(guī)劃的知識進(jìn)行求解即可．

解答：解：設(shè)需要第一種鋼板x張，第二種鋼板y張，鋼板總數(shù)z張，則

2x+y≥15 x+2y≥18 x+3y≥27 x∈N，y∈N

目標(biāo)函數(shù) z=x+y
作出可行域如圖所示，作出直線x+y=0．作出一組平行直線x+y=t（其中t為參數(shù)）．
其中經(jīng)過可行域內(nèi)的點(diǎn)且和原點(diǎn)距離最近的直線，
經(jīng)過直線 x+3y=27和直線 2x+y=15的交點(diǎn)A(

18

5

，

39

5

)，直線方程為x+y=

57

5

．
由于

18

5

和

39

5

都不是整數(shù)，而最優(yōu)解（x，y）中，x，y必須都是整數(shù)，
所以，可行域內(nèi)點(diǎn)A(

18

5

，

39

5

)不是最優(yōu)解．
經(jīng)過可行域內(nèi)的整點(diǎn)（橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)），且與原點(diǎn)距離最近的直線是x+y=12．
經(jīng)過的整點(diǎn)是B（3，9）和C（4，8），它們是最優(yōu)解．
故要截得所需三種規(guī)格的鋼板，且使所截兩種鋼板的張數(shù)最少的方法有兩種，第一種截法是截第一種鋼板3張、第二種鋼板9張；第二種截法是截第一種鋼板4張、第二種鋼板8張．兩種方法都最少要截兩種鋼板共12張．

點(diǎn)評：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用條件建立約束條件和目標(biāo)函數(shù)，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求最優(yōu)解，考查學(xué)生解決應(yīng)用問題的能力．