已知函數(shù)f（x）=cosx•sin（x+
π
3
）-
3
cos2x+
3
4
．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若f（x）＜m在x∈[-
π
4
，
π
4
]上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
考點：三角函數(shù)的最值,兩角和與差的正弦函數(shù)
專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)
分析：（1）由條件利用三角函數(shù)的恒等變換求得f（x）的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的周期性求得f（x）的最小正周期．
（2）由條件利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得f（x）的最大值，可得實數(shù)m的取值范圍．
解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=cosx•sin（x+
π
3
）-
3
cos2x+
3
4
=cosx（
1
2
sinx+
3
2
cosx ）-
3
•
1+cos2x
2
+
3
4

=
1
4
sin2x-
3
4
cos2x=
1
2
sin（2x-
π
3
），
∴函數(shù)的最小正周期為 T=
2π
2
=π．
（2）∵x∈[-
π
4
，
π
4
]，∴2x-
π
3
∈[-
5
6
π，
1
6
π]，∴f(x)max=
1
4
．
∵f（x）＜m在x∈[-
π
4
，
π
4
]上恒成立，∴m＞
1
4
．
點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，三角函數(shù)的周期性和求法，正弦函數(shù)的定義域和值域，函數(shù)的恒成立問題，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，拋物線C的頂點為坐標原點O，焦點F在y軸上，準線l與圓x2+y2=1相切．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）若點A、B在拋物線C上，且
FB
=2
OA
，求點A的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜
π
2
）圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為
π
2
，若將函數(shù)f（x）的圖象向左平移
π
6
個單位后圖象關于y軸對稱．
（Ⅰ）求使f（x）≥
1
2
成立的x的取值范圍；
（Ⅱ）設g(x)=-g′(
π
3
)sin(
1
2
ωx)+
3
cos(
1
2
ωx)，其中g(shù)'（x）是g（x）的導函數(shù)，若g（x）=
2
7
，且
π
2
＜x＜
2π
3
，求cosx的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點P是圓C：x2+y2-4ax-2by-5=0（a＞0，b＞0）上任意一點，若P點關于直線x+2y-1=0的對稱點仍在圓C上，則
1
a
+
1
b
的最小值是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列四個命題：
①?x∈（0，+∞），（
1
2
）x＜（
1
3
）x；
②?x∈（0，1），log
1
2
x＞log
1
3
x；
③?x∈（0，+∞），（
1
2
）x＞log
1
2
x；
④?x∈（0，
1
3
），（
1
2
）x＜log
1
3
x．
其中真命題是（　�。�
A、①③B、②③C、②④D、③④

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

將三名成人和三名兒童排成一排，則任何兩名兒童都不相鄰的不同排法總數(shù)為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列函數(shù)f（x）中，滿足“對任意x1，x2∈（0，+∞），都有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＜0”的是（　　）
A、f（x）=lnx
B、f（x）=（x-1）2
C、f（x）=
1
x+1
D、f（x）=x3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
2x-1
+
1
2
．
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明；
（Ⅱ）若對于任意x∈[2，4]，不等式f(
x+1
x-1
)＜f(
m
(x-1)2(7-x)
)恒成立，求正實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知全集U=R，集合M={x|x2-x＞0}，則∁UM=（　�。�
A、{x|0＜x＜1}
B、{x|0≤x≤1}
C、{x|x＜0或x＞1}
D、{x|x≤0或x≥1}

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