Question

平面上定點(diǎn)A、B距離為4，動(dòng)點(diǎn)C滿足|CA|-|CB|=3，則|CA|的最小值是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   5

Answer 1

C
分析：設(shè)A在B的左邊，以AB所在直線為x軸，AB中點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，由題意可得雙曲線方程為-=1．再設(shè)C（m，n），得
|CA|²=（m+2）²+n²，化簡得|CA|²=m²+4m+，最后根據(jù)m的取值范圍結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性，可求得|CA|的最小值．
解答：∵動(dòng)點(diǎn)C滿足|CA|-|CB|=3，且|AB|=4＞3
∴點(diǎn)C的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的靠近B的一支
設(shè)A在B的左邊，以AB所在直線為x軸，AB中點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，可得
A（-2，0），B（2，0），設(shè)雙曲線方程為-=1（a＞0，b＞0）
∴a=，c=2，得b==，雙曲線方程為-=1
設(shè)C（m，n），得|CA|²=（m+2）²+n²=（m+2）²+（m²-1）=m²+4m+
∵C點(diǎn)橫坐標(biāo)m，
∴當(dāng)且僅當(dāng)m=時(shí)，|CA|²的最小值為，得|CA|的最小值是
故選：C
點(diǎn)評：本題給出動(dòng)點(diǎn)C滿足的軌跡方程，求點(diǎn)C到定點(diǎn)A距離的最小值，著重考查了軌跡與方程、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．