已知函數(shù)f(x)=ax+
1x3
，其中a∈R．
（I）求證：函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（II）若a=3，求函數(shù)f（x）的極值．
分析：（I）利用奇函數(shù)的定義，即可得到結論；
（II）求導函數(shù)，利用導數(shù)的正負，確定函數(shù)的單調性，從而可求函數(shù)f（x）的極值．
解答：解：（I）函數(shù)f(x)=ax+
1
x3
的定義域為{x|x∈R且x≠0}．（1分）
因為f(-x)=-ax-
1
x3
=-f(x)，
所以函數(shù)f(x)=ax+
1
x3
為奇函數(shù)，（5分）
（II）因為f(x)=3x+
1
x3
，
所以f′(x)=3-
3
x4
=
3(x4-1)
x4
．（8分）
令f′（x）=0，解得x=±1．（9分）
當x變化時，f（x）與f′（x）的變化情況如下表：
x （-∞，-1） -1 （-1，0） （0，1） 1 （1，+∞）
f′（x） + 0 - - 0 +
f（x） 極大值 極小值
（11分）
所以當x=-1時，f（x）有極大值f（-1）=-4，當x=1時，f（x）有極小值f（1）=4．（13分）
點評：本題考查函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)的單調性與極值，考查導數(shù)知識的運用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1
．
（1）求證：不論a為何實數(shù)f（x）總是為增函數(shù)；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（3）當f（x）為奇函數(shù)時，求f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)
a-x  ，x≤0
1  ，0＜x≤3
(x-5)2-a，x＞3
（a＞0且a≠1）圖象經過點Q（8，6）．
（1）求a的值，并在直線坐標系中畫出函數(shù)f（x）的大致圖象；
（2）求函數(shù)f（t）-9的零點；
（3）設q（t）=f（t+1）-f（t）（t∈R），求函數(shù)q（t）的單調遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
，若f（x）為奇函數(shù)，則a=（　�。�
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
，其中a＞0．
（I）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（II）若直線x-y-1=0是曲線y=f（x）的切線，求實數(shù)a的值；
（III）設g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
，（a∈R）
（1）求f（x）的定義域；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（3）考察f（x）在定義域上單調性的情況，并證明你的結論．

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