Question

（2012•綿陽三模）某電視臺有A、B兩種智力闖關(guān)游戲，甲、乙、丙、丁四人參加，其中甲乙兩人各自獨立進行游戲A，丙丁兩人各自獨立進行游戲B．已知甲、乙兩人各自闖關(guān)成功的概率均為

1

2

，丙、丁兩人各自闖關(guān)成功的概率均為

2

3

．
（I）求游戲A被闖關(guān)成功的人數(shù)多于游戲B被闖關(guān)成功的人數(shù)的概率；
（II）求游戲A、B被闖關(guān)成功的總?cè)藬?shù)為3的概率．

Answer 1

分析：設(shè)“i個人游戲A闖關(guān)成功”為事件A_i（i=0，1，2），“j個人游戲B闖關(guān)成功”為事件B_j（j=0，1，2），
（I）“游戲A被闖關(guān)成功的人數(shù)多于游戲B被闖關(guān)的人數(shù)”為A₁B₀+A₂B₁+A₂B₀，利用獨立重復(fù)試驗的概率公式及互斥事件的概率公式可求游戲A被闖關(guān)成功的人數(shù)多于游戲B被闖關(guān)的人數(shù)的概率；
（II）“游戲A、B被闖關(guān)成功的總?cè)藬?shù)為3”為A₂B₁+A₁B₂，利用獨立重復(fù)試驗的概率公式及互斥事件的概率公式可求
游戲A、B被闖關(guān)成功的總?cè)藬?shù)為3的概率．

解答：解：設(shè)“i個人游戲A闖關(guān)成功”為事件A_i（i=0，1，2），“j個人游戲B闖關(guān)成功”為事件B_j（j=0，1，2），
（I）“游戲A被闖關(guān)成功的人數(shù)多于游戲B被闖關(guān)的人數(shù)”為A₁B₀+A₂B₁+A₂B₀．
∴P（A₁B₀+A₂B₁+A₂B₀）=P（A₁B₀）+P（A₂B₁）+P（A₂B₀）
=P（A₁）•P（B₀）+P（A₂）•P（B₁）+P（A₂）•P（B₀）
=

C

1 2

×

1

2

×

1

2

×C

0 2

×(

2

3

)0×(

1

3

)2+

C

2 2

×(

1

2

)2×(

1

2

)0

×C

1 2

×

2

3

×

1

3

+

C

2 2

×(

1

2

)2×

C

0 2

×(

1

3

)2=

7

36

即游戲A被闖關(guān)成功的人數(shù)多于游戲B被闖關(guān)的人數(shù)的概率為

7

36

．  …（6分）
（II）“游戲A、B被闖關(guān)成功的總?cè)藬?shù)為3”為A₂B₁+A₁B₂．
∴P（A₂B₁+A₁B₂）=P（A₂B₁）+P（A₁B₂）=P（A₂）•P（B₁）+P（A₁）•P（B₂）
=

C

2 2

×(

1

2

)2

×C

1 2

×

2

3

×

1

3

+

C

2 2

×(

2

3

)2×

C

1 2

×

1

2

×

1

2

=

1

3

．
即游戲A、B被闖關(guān)成功的總?cè)藬?shù)為3的概率為

1

3

．   …（12分）

點評：本題主要考查n次獨立重復(fù)實驗中恰好發(fā)生k次的概率，等可能事件的概率，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．