Question

18．設(shè)命題p：實數(shù)x滿足x²-6ax-16a²＜0（a≠0）；命題q：實數(shù)x滿足$\frac{1}{8}$≤2^x≤16，
（1）若a=1時，命題p∨q為真，同時命題p∧q為假，求實數(shù)x的取值范圍；
（2）若￢p是￢q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分別解出關(guān)于p，q的不等式，通過討論p，q的真假得到關(guān)于x的不等式組，解出即可；
（2）根據(jù)q是p的真子集，通過討論a的范圍，得到關(guān)于a的不等式組，解出取并集即可．

解答 解：（1）a=1時，p：-2＜x＜8，q：-3≤x≤4，
若命題p∨q為真，同時命題p∧q為假，
則p，q一真一假，
若p真q假，則$\left\{\begin{array}{l}{-2＜x＜8}\\{x＞4或x＜-3}\end{array}\right.$，
則4＜x＜8，
若p假q真，則$\left\{\begin{array}{l}{x≥8或x≤-2}\\{-3≤x≤4}\end{array}\right.$
則-3≤x≤-2，
綜上，x∈[-3，-2]∪（4，8）；
（2）若￢p是￢q的充分不必要條件，
則q是p的真子集，
a＜0時，p：8a＜x＜-2a，q：-3≤x≤4，
此時$\left\{\begin{array}{l}{8a＜-3}\\{-2a＞4}\end{array}\right.$，解得：a＜-2，
a＞0時，p：-2a＜x＜8a，q：-3≤x≤4，
此時$\left\{\begin{array}{l}{-2a＜-3}\\{8a＞4}\end{array}\right.$，解得：a＞$\frac{3}{2}$，
綜上，a＜-2或a＞$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了充分必要條件，考查集合的包含關(guān)系以及分類討論思想，是一道中檔題．