Question

如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=4，BC=CD=，點E為線段AD上的一點．現(xiàn)將△DCE沿
線段EC翻折到PAC（點D與點P重合），使得平面PAC⊥平面ABCE，連接PA，PB．
（Ⅰ）證明：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠BAD=60°，且點E為線段AD的中點，求二面角P-AB-C的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）連接AC，BD交于點O，證明AC⊥BD，利用平面PAC⊥平面ABCE，可得BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PAB的法向量、平面ABC的法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角P-AB-C的大�。�
解答：（Ⅰ）證明：連接AC，BD交于點O，在四邊形ABCD中，
∵AB=AD=4，
∴△ABC≌△ADC，∴∠DAC=∠BAC，
∴AC⊥BD
又∵平面PAC⊥平面ABCE，且平面PAC∩平面ABCE=AC
∴BD⊥平面PAC…（6分）
（Ⅱ）解：如圖，以O(shè)為原點，直線OA，OB分別為x軸，y軸，平面PAC內(nèi)過O且垂直于直線AC的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，可設(shè)點P（x，0，z）
又，B（0，2，0），，，
由PE=2，有，解得，∴…（9分）
則有，設(shè)平面PAB的法向量為，
由，即，∴可取=（1，，2），…（12分）
又易取得平面ABC的法向量為（0，0，1），并設(shè)二面角P-AB-C的大小為θ，
∴，∴
∴二面角P-AB-C的大小為．…（14分）
點評：本題考查線面垂直的判定，考查面面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．