Question

已知數(shù)列滿足遞推式：．
(Ⅰ)若，求與的遞推關(guān)系（用表示）；
(Ⅱ)求證：．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見(jiàn)解析.

試題分析：（Ⅰ）要得與的遞推關(guān)系，首先找到與的遞推關(guān)系.由，
代入與的遞推關(guān)系便可得與的遞推關(guān)系．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：

數(shù)列中涉及前項(xiàng)和的不等式的證明，一般有兩個(gè)大的方向，一種是先求和，后放縮；一種是先放縮，后求和.在本題中顯然不可能先求和.所以選擇先放縮后求和的方法.本題中還是一個(gè)有絕對(duì)值符號(hào)的式子，所以還應(yīng)去掉絕對(duì)值符號(hào).在去絕對(duì)值符號(hào)時(shí)，需要對(duì)分奇數(shù)與偶數(shù)討論：，注意這里的分母，一個(gè)是加1，一個(gè)是減1，這種情況下，不能單獨(dú)放縮，而是將兩項(xiàng)相加后再放縮.
，這樣再分是奇數(shù)和偶數(shù)，就可使問(wèn)題得證.
試題解析：（Ⅰ）…………………①
代入①式得，
即．
（Ⅱ）.
對(duì)分奇數(shù)與偶數(shù)討論：，則
，則
；
又
．
綜上所述，原不等式成立．