Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x+2）+f（x）=0，且函數(shù)f（x+1）為奇函數(shù)，對(duì)于下列命題：
①函數(shù)f（x）是以T=2為周期的函數(shù)；
②函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱；
③函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱；
④函數(shù)f（x）的最大值為f（2）；
⑤f（2011）=0．
其中正確結(jié)論的序號(hào)為

1. A.
   ①③⑤
2. B.
   ②③⑤
3. C.
   ②③④
4. D.
   ①④⑤

Answer 1

B
分析：由題意定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x+2）+f（x）=0，說(shuō)明該函數(shù)的周期為T(mén)=4，又有函數(shù)f（x+1）為奇函數(shù)，說(shuō)明函數(shù)f（x）應(yīng)該有對(duì)稱中心（1，0）
解答：∵定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x+2）+f（x）=0，即：f（x+2）=-f（x）對(duì)于一切x都成立，式子中的x被x+2代替得到：f（x+4）=-f（x+2）=f（x），有函數(shù)的周期的定義可以得到：函數(shù)f（x）的周期T=4，所以①錯(cuò)；
又∵函數(shù)f（x+1）為奇函數(shù)，即函數(shù)f（x）向左平移一個(gè)單位以后關(guān)于（0，0）對(duì)稱，
∴平移之前的圖象應(yīng)該關(guān)于（1，0）對(duì)稱，故②正確；
∵f（x+2）=-f（x）且f（x+1）=y為奇函數(shù)，
∴??f（x+3）=f（-x+1）?函數(shù)f（x）有對(duì)稱軸x=2，所以③正確；
對(duì)于⑤由于f（1）=0，所以f（2011）=f（502×4+3）=f（3）=-f（1）=0，故⑤正確．
故選B
點(diǎn)評(píng)：此題考查了函數(shù)的周期定義及利用定義求函數(shù)的周期，還考查了函數(shù)的對(duì)稱及與圖象的平移變換，還考查了復(fù)合函數(shù)的奇函數(shù)的定義式．