數(shù)列{an}滿足a1=
4
3
，an+1=an2-an+1（n∈N*），則m=
1
a1
+
1
a2
+…+
1
a2013
的整數(shù)部分是（　�。�
分析：由已知a1=
4
3
，an+1=an2-an+1（n∈N*），可得an+1-an＞0，得到數(shù)列{an}單調(diào)遞增．再變形為an+1-1=an（an-1），即
1
an+1-1
=
1
an-1
-
1
an
，也即
1
an
=
1
an-1
-
1
an+1-1
．利用“裂項(xiàng)求和”可得m，再利用其單調(diào)性即可得出m的整數(shù)部分．
解答：解：∵a1=
4
3
，an+1=an2-an+1（n∈N*），∴an+1-an=(an-1)2＞0，∴an+1＞an，∴數(shù)列{an}單調(diào)遞增．
∴an+1-1=an（an-1）＞0，
∴
1
an+1-1
=
1
an-1
-
1
an
，∴
1
an
=
1
an-1
-
1
an+1-1
．
∴Sn=
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
=(
1
a1-1
-
1
a2-1
)+(
1
a2-1
-
1
a3-1
)+…+(
1
an-1
-
1
an+1-1
)
=
1
a1-1
-
1
an+1-1
=3-
1
an+1-1
，
∴m=S2013=3-
1
a2014-1
．
∵a1=
4
3
，∴a2=(
4
3
)2-
4
3
+1=
13
9
，∴a3=(
13
9
)2-
13
9
+1=
133
81
，∴a4=(
133
81
)2-
133
81
+1=
133
81
×
52
81
+1=
6916
6561
+1＞2．
∵a2014＞a4＞2，∴a2014-1＞1，∴0＜
1
a2014-1
＜1，∴2＜3-
1
a2014-1
＜3．
因此m的整數(shù)部分是2．
故選B
點(diǎn)評(píng)：本題考查了通過恰當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為“裂項(xiàng)求和”、數(shù)列的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)b＞0，數(shù)列{an}滿足a1=b，an=
nban-1an-1+n-1
（n≥2）
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（4）證明：對(duì)于一切正整數(shù)n，2an≤bn+1+1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=2，an=
an-1an-2
(n≥3)，則a17等于
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a＞0，數(shù)列{an}滿足a1=a，an+1=a+
1
an
，n=1，2，….
（I）已知數(shù)列{an}極限存在且大于零，求A=
lim
n→∞
an（將A用a表示）；
（II）設(shè)bn=an-A，n=1，2，…，證明：bn+1=-
bn
A(bn+A)
；
（III）若|bn|≤
1
2n
對(duì)n=1，2，…都成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

數(shù)列{an}滿足a1=1，an=
12
an-1+1(n≥2)
（1）若bn=an-2，求證{bn}為等比數(shù)列；    
（2）求{an}的通項(xiàng)公式．

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同步練習(xí)冊(cè)答案