Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：PA∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角B-DE-C的平面角的余弦值；
（Ⅲ）在棱PB上是否存在點(diǎn)F，使PB⊥平面DEF？證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（I）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明PA∥平面BDE．
（II）由已知求出平面BDE的一個(gè)法向量和平面DEC的一個(gè)法向量，利用向量法能求出二面角B-DE-C的余弦值．
（Ⅲ）由已知得PB⊥DE，假設(shè)棱PB上存在點(diǎn)F，使PB⊥平面DEF，設(shè)

PF

=λ

PB

，（0＜λ∠1），由此利用向量法能求出在棱PB上存在點(diǎn)F，PF=

1

3

PB，使得PB⊥平面DEF．

解答： （I）證明：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，
分別以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)PD=DC=2，則A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0），

PA

=（2，0，-2），

DE

=（0，1，1），

DB

=(2，2，0)，
設(shè)

n

=(x，y，z)是平面BDE的一個(gè)法向量，
則由

n1 • DE =0 n1 • DB =0

，得

y+z=0 2x+2y=0

，
取y=-1，得

n1

=(1，-1，1)．
∵

PA

•

n1

=2-2=0，∴

PA

•

n1

，
又PA不包含于平面BDE，PA∥平面BDE，
（II）解：由（Ⅰ）知

n1

=（1，-1，1）是平面BDE的一個(gè)法向量，
又

n2

=

DA

=（2，0，0）是平面DEC的一個(gè)法向量．
設(shè)二面角B-DE-C的平面角為θ，
∴cosθ=cos＜

n1

，

n2

＞=

2

3 ×2

=

3

3

．
故二面角B-DE-C的余弦值為

3

3

．
（Ⅲ）解：∵

PB

=（2，2，-2），

DE

=（0，1，1），
∴

PB

•

DE

=0，∴PB⊥DE，
假設(shè)棱PB上存在點(diǎn)F，使PB⊥平面DEF，設(shè)

PF

=λ

PB

，（0＜λ∠1），
則

PF

=（2λ，2λ，-2λ），

DF

=

DP

+

PF

=（2λ，2λ，2-2λ），
由

PF

•

DF

=0，得4λ²+4λ²-2λ（2-2λ）=0，
∴λ=

1

3

∈（0，1），此時(shí)PF=

1

3

PB，
即在棱PB上存在點(diǎn)F，PF=

1

3

PB，使得PB⊥平面DEF．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角余弦值的求法，考查滿足直線與平面垂直的點(diǎn)的位置的確定，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．