Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B₁=A₁C₁，D，E分別是棱BC，CC₁上的點(diǎn)（點(diǎn)D不同于點(diǎn)C），且AD⊥DE，F(xiàn)為B₁C₁的中點(diǎn)，求證：
（1）平面ADE⊥平面BCC₁B₁；
（2）直線A₁F∥平面ADE；
（3）若A₁B₁=A₁C₁=B₁C₁=AA₁，求二面角D-AE-C的正切值．

Answer 1

分析：（1）依題意，可證AD⊥平面BCC₁B₁，再利用面面垂直的判定定理即可證得平面ADE⊥平面BCC₁B₁；
（2）A₁B₁=A₁C₁，F(xiàn)為B₁C₁的中點(diǎn)，可證A₁F⊥B₁C₁，進(jìn)一步可證A₁F⊥平面BCC₁B₁；由（1）知AD⊥平面BCC₁B₁，從而A₁F∥AD，利用線面平行的判定定理即可證得結(jié)論；
（3）利用三垂線定理作出二面角D-AE-C的平面角，再計(jì)算即可．

解答：證明：（1）因?yàn)锳BC-A₁B₁C₁是直三棱柱，所以CC₁⊥平面ABC．
又AD?平面ABC，所以CC₁⊥AD． 又因?yàn)锳D⊥DE，CC₁，DE?平面BCC₁B₁，CC₁∩DE=E，
所以AD⊥平面BCC₁B₁．
又AD?平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC₁B₁．…（4分）
（2）因?yàn)锳₁B₁=A₁C₁，F(xiàn)為B₁C₁的中點(diǎn)，所以A₁F⊥B₁C₁．
因?yàn)镃C₁⊥平面A₁B₁C₁，且A₁F?平面A₁B₁C₁，所以CC₁⊥A₁F，
又因?yàn)镃C₁，B₁C₁?平面BCC₁B₁，CC₁∩B₁C₁=C₁，所以A₁F⊥平面BCC₁B₁．
由（1）知AD⊥平面BCC₁B₁，所以A₁F∥AD．
又AD?平面ADE，A₁F?平面ADE，所以A₁F∥平面ADE…（5分）
（3）過點(diǎn)D作DP⊥AC于P，過點(diǎn)P作PM⊥AE于M，連接DM，則∠PMD即為二面角D-AE-C的平面角．
設(shè)A₁B₁=A₁C₁=B₁C₁=AA₁=2，則CD=1，DP=1×sin60°=

3

2

，MP=

3

2

×

5

5

=

3 5

10

，在直角三角形DPM中，
tan∠PMD=

DP

MP

=

3 2

3 5 10

=

15

3

…（5分）

點(diǎn)評：本題考查平面與平面垂直的判定，考查直線與平面平行的判定，考查二面角的平面角及求法，考查分析與作圖能力，屬于難題．