Question

給出下列4個(gè)命題：
①函數(shù)f（x）=x|x|+ax+m是奇函數(shù)的充要條件是m=0：
②若函數(shù)f（x）=log（ax+1）的定義域是{x|x＜l}，則a＜-1；
③若log_a2＜log_b2，則

lim

n→∞

an-bn

an+bn

=1（其中n∈N₊）；
④圓：x²+y²-10x+4y-5=0上任意點(diǎn)M關(guān)于直線(xiàn)ax-y-5a=2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，M′也在該圓上填上所有正確命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

分析：依據(jù)各選項(xiàng)中的已知條件，逐一分析各個(gè)各個(gè)選項(xiàng)是否正確，把正確的選項(xiàng)找出來(lái)，填在橫線(xiàn)上．

解答：解：①函數(shù)f（x）的定義域是實(shí)數(shù)集R，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，此函數(shù)奇函數(shù)的充要條件是f（-x）=-f（x），
即-x|x|-ax+m=-x|x|-ax-m，即 m=0，故①正確．
②函數(shù)f（x）=log（ax+1）的定義域是{x|x＜l}，故 a＜0，且ax+1＞0的解集是x＜l，故只有 a=-1，
故②不正確．
③∵log_a2＜log_b2，∴a＞b＞1，或者

b＞1 0＜a ＜1

，
當(dāng)a＞b＞1時(shí)，則

lim

n→∞

an-bn

an+bn

=

lim

n→∞

 

1- ( b a )n

1+( b a )n

=

1-0

1+0

=1，
當(dāng) b＞1 且 0＜a＜1時(shí)，則

lim

n→∞

an-bn

an+bn

=

lim

n→∞

 

0-(-b)n

0+bn

=（-1）ⁿ=±1，
故③不正確．
④圓：x²+y²-10x+4y-5=0 即 （x-5）²+（y+2）²=34，圓心為（5，-2）
直線(xiàn)ax-y-5a=2 即a（x-5）-y-2=0，此直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)（5，-2），即圓的圓心，故圓：x²+y²-10x+4y-5=0 關(guān)于此直線(xiàn)
對(duì)稱(chēng)，故④正確．
綜上，①④正確，②③不正確，
故答案為 ①④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性、定義域、直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)、點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，以及極限的運(yùn)算，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化和分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想．