已知函數(shù)f(x)=log3
1+x1-x
．
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷奇偶性，并證明；
（3）求使f（x）＞0的x的范圍．
分析：（1）由
1+x
1-x
＞0能夠得到原函數(shù)的定義域．
（2）求出f（-x）和f（x）進(jìn)行比較，二者互為相反數(shù)，所以f（x）是奇函數(shù)．
（3）利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將不等式f（x）＞0轉(zhuǎn)化為不含對數(shù)符號的分式不等式，最后解一個分式不等式即可．
解答：解：（1）由
1+x
1-x
＞0得（1+x）（1-x）＞0，
∴-1＜x＜1，
∴定義域為（-1，1）（4分）
（2）∵f(-x)=log3
1-x
1+x
=log3(
1+x
1-x
)-1=-log3
1+x
1-x
=-f(x)，
∴f（x）為奇函數(shù)．（8分）
（3）∵f(x)=log3
1+x
1-x
＞0，
∴
1+x
1-x
＞1，∴
1+x
1-x
-1=
2x
1-x
＞0，
∴2x（1-x）＞0，
∴0＜x＜1（12分）
點評：本題考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要注意對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于0．另外，證明奇偶性一般用定義，證明單調(diào)性可用定義或?qū)?shù)法．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b
（1）若函數(shù)f（x）在P（0，f（0））的切線方程為y=5x+1，求實數(shù)a，b的值：
（2）當(dāng)a＜3時，令g(x)=
f′(x)
x
，求y=g（x）在[l，2]上的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-alnx的圖象在點P（2，f（2））處的切線方程為l：y=x+b
（1）求出函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式和切線l的方程；
（2）當(dāng)x∈[
1
e
，e]時（其中e=2.71828…），不等式f（x）＜k恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=
12
x2+a（a為常數(shù)），直線l與函數(shù)f（x）、g（x）的圖象都相切，且l與函數(shù)f（x）的圖象的切點的橫坐標(biāo)為1．
（1）求直線l的方程及a的值；
（2）當(dāng)k＞0時，試討論方程f（1+x2）-g（x）=k的解的個數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
13
x3+x2+ax．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)f（x）有兩個極值點x1，x2，若過兩點（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直線l與x軸的交點在曲線y=f（x）上，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x3-
32
ax2+b，a，b為實數(shù)，x∈R，a∈R．
（1）當(dāng)1＜a＜2時，若f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值、最大值分別為-2、1，求a、b的值；
（2）在（1）的條件下，求經(jīng)過點P（2，1）且與曲線f（x）相切的直線l的方程；
（3）試討論函數(shù)F（x）=（f′（x）-2x2+4ax+a+1）•ex的極值點的個數(shù)．

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