已知向量a=(sin
x
2
，
3
cos
x
2
)，b=(cos
x
2
，cos
x
2
)，設(shè)f（x）=a•b．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在[0，2π]上的零點；
（Ⅱ）設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知f(A)=
3
，b=2，sinA=2sinC，求邊c的值．
分析：（Ⅰ）利用兩個向量的數(shù)量積公式以及三角公式化簡函數(shù)f（x），利用函數(shù)零點的定義求得x=π或x=
4π
3
．
（Ⅱ）由f(A)=sin(A+
π
3
)+
3
2
=
3
，A∈（0，π），得A=
π
3
．由正弦定理得a=2c，
 由a2=b2+c2-2bccosA 求出c．
解答：解：（Ⅰ）f(x)=a•b=sin
x
2
•cos
x
2
+
3
cos2
x
2
=
1
2
sinx+
3
2
cosx+
3
2
=sin(x+
π
3
)+
3
2
．
由sin(x+
π
3
)+
3
2
=0，得，x+
π
3
=2kπ+
4π
3
，或x+
π
3
=2kπ-
π
3
，k∈Z
由x∈[0，2π]，得x=π或x=
4π
3
．故函數(shù)f（x）的零點為 π 和
4π
3
．
（Ⅱ）由f(A)=sin(A+
π
3
)+
3
2
=
3
，A∈（0，π），得A=
π
3
．
由sinA=2sinC得 a=2c．又b=2，由a2=b2+c2-2bccosA，得4c2=22+c2-2•2ccos
π
3
，
即  3c2+2c-4=0，∵c＞0，∴c=
13
-1
3
．
點評：本題考查兩個向量的數(shù)量積的運算，函數(shù)的零點的概念，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用，
正弦定理、余弦定理的應(yīng)用．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表達式．
（2）用“五點作圖法”畫出函數(shù)f（x）在一個周期上的圖象．
（3）寫出f（x）在[-π，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間．
（4）設(shè)關(guān)于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根為x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，則sin2θ+cos2θ的值為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此結(jié)論求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五點法”作出函數(shù)y=f（x）在長度為一個周期的閉區(qū)間的圖象．
②求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
③求函數(shù)f（x）的最大值，并求出取得最大值時自變量x的取值集合
④函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=sin2x（x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？
⑤當(dāng)x∈[0，π]，求函數(shù)y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作圖
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