Question

已知f（x）=log_a（x+1），點(diǎn)P是函數(shù)y=f（x）圖象上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)Q形成函數(shù)y=g（x）的圖象．
（1）求y=g（x）的解析式；
（2）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，解不等式2f（x）+g（x）≥0；
（3）當(dāng)a＞1，且x∈[0，1）時(shí)，總有2f（x）+g（x）≥m恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知條件可知函數(shù)g（x）的圖象上的任意一點(diǎn)Q（x，y）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)P（-x，-y）在函數(shù)f（x）圖象上，把P（-x，-y）代入f（x），整理可得g（x）
（2）由2f（x）+g（x）≥0得2log_a（x+1）≥log_a（1-x）去掉對(duì)數(shù)符號(hào)后轉(zhuǎn)化為整式不等式，從而求得x的取值范圍；
（3）由（1）可令h（x）=2f（x）+g（x），loga

(x+1)2

1-x

≥m，令u=

(x+1)2

1-x

，先判斷函數(shù)u（x）在（0，1]的單調(diào)性，進(jìn)而求得函數(shù)的最小值h（x）_min，使得m≤h（x）_min

解答：解：（1）設(shè)Q（x，y），
∵P、Q兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-x，-y），又點(diǎn)p（-x，-y）在函數(shù)y=f（x）的圖象上，
∴-y=log_a（-x+1），即g（x）=-log_a（1-x）…（2分）
（2）由2f（x）+g（x）≥0得2log_a（x+1）≥log_a（1-x）
∵0＜a＜1∴

x+1＞0 1-x＞0 (x+1)2≤1-x

∴x∈(-1，0]…（6分）
（3）由題意知：a＞1且x∈[0，1）時(shí)loga

(x+1)2

1-x

≥m恒成立．…（7分）
設(shè)u=

(x+1)2

1-x

=(1-x)+

4

1-x

-4，令t=1-x，t∈（0，1]，
∴u(t)=t+

4

t

-4t∈(0，1]
…（9分）
設(shè)0＜t₁＜t₂≤1∵u(t1)-u(t2)=(t1-t2)(1-

4

t1t2

)＞0
∴u（t）在t∈（0，1]上單調(diào)遞減，
∴u（t）的最小值為1…（12分）
又∵a＞1，∴loga

(x+1)2

1-x

的最小值為0…（13分）
∴m的取值范圍是m≤0…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題（1）小題主要考查了函數(shù)的中心對(duì)稱問(wèn)題：若函數(shù)y=f（x）與y=g（x）關(guān)于點(diǎn)M（a，b）對(duì)稱，則y=f（x）上的任意一點(diǎn)（x，y）關(guān)于M（a，b）對(duì)稱的點(diǎn)（2a-x，2b-y）在函數(shù)y=g（x）的圖象上．（3）小題主要考查了函數(shù)的恒成立問(wèn)題，往往轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題：m≥h（x）恒成立，則m≥h（x）_max，m≤h（x）恒成立，則m≤h（x）_min