Question

已知函數(shù)，a為常數(shù)．
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x+2y-5=0垂直，求實數(shù)a的值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）當(dāng)x≥1時，f（x）≤2x-3恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為{x|x＞0}，．
又曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x+2y-50垂直，
所以f'（1）=a+1=2，即a=1． …（4分）
（2）由，
當(dāng)a≥0時，f'（x）＞0恒成立，所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）．
當(dāng)a＜0時，由f'（x）＞0，得，所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為；
由f'（x）＜0，得，所以f（x）的單調(diào)減區(qū)間為． …（10分）
（3）設(shè)g（x）=alnx--2x+3，x∈[1，+∞），∴
設(shè)h（x）=-2x²+ax+1，h（0）=1＞0
當(dāng)a≤1時，h（x）=-2x²+ax+1的對稱軸為，h（x）在[1，+∞）上是減函數(shù)，h（x）≤h（1）=a-1≤0
∴g′（x）≤0，g（x）在[1，+∞）上是減函數(shù)
∴g（x）≤g（1）=0，即f（x）≤2x-3
當(dāng)a＞1時，令h（x）=-2x²+ax+1=0得，
當(dāng)x∈[1，x₁）時，h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）在[1，x₁）上是增函數(shù)；
當(dāng)x∈（x₁，+∞）時，h（x）＜0，g′（x）＜0，g（x）在[1，x₁）上是減函數(shù)；
∴g（1）＜g（x₁），即f（x₁）＞2x-3，不滿足題意
綜上，實數(shù)a的取值范圍為a≤1
分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得實數(shù)a的值；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)大于0可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于0可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
（3）設(shè)g（x）=alnx--2x+3，x∈[1，+∞），求導(dǎo)函數(shù)，設(shè)h（x）=-2x²+ax+1，h（0）=1＞0，分類討論
：當(dāng)a≤1時，可得g（x）在[1，+∞）上是減函數(shù)從而g（x）≤g（1）=0，即f（x）≤2x-3；當(dāng)a＞1時，令h（x）=-2x²+ax+1=0得，，從而可得f（x₁）＞2x-3，不滿足題意，故可求實數(shù)a的取值范圍．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是正確求導(dǎo)函數(shù)．