Question

雙曲線M的中心在原點(diǎn)，并以橢圓

x2

25

+

y2

13

=1的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，以拋物線y²=-2

3

x的準(zhǔn)線為右準(zhǔn)線．
（Ⅰ）求雙曲線M的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx+3 與雙曲線M相交于A、B兩點(diǎn)，O是原點(diǎn)．
①當(dāng)k為何值時，使得

OA

•

OB

=0？
②是否存在這樣的實(shí)數(shù)k，使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=mx+12對稱？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得所求的雙曲線的半焦距c=2

3

，準(zhǔn)線為：x=

3

2

從而可得

a2

c

=

3

2

，可求雙曲線M的方程
（Ⅱ）①設(shè)直線l與雙曲線M的交點(diǎn)為A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）、聯(lián)立方程組

x2 3 - y2 9 =1  y=kx+3

消去y（k²-3）x²+6kx+18=0，設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）、則k²-3≠0，△=36k²-4（k²-3）×18＞0，解可得，-

6

＜k＜

6

，從而有x1+x2=-

6k

k2-3

，x1x2=

18

k2-3

由

OA

•

OB

=0，則有x₁x₂+y₁y₂=0，可求k
②若存在實(shí)k，使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=mx+12對稱，則必有k=-

1

m

當(dāng)m≠0時，利用點(diǎn)差法，由

3 x 2 1 - y 2 1 =9 3 x 2 2 - y 2 2 =9

可得，3（x₁²-x₂²）-（y₁²-y₂²）=0即k•

y1+y2

2

=3•

x1+x2

2

，再由A、B中點(diǎn)P（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

）在直線y=mx+12上，代入可求

解答：解：（Ⅰ）易知，橢圓

x2

25

+

y2

13

=1的半焦距為：c=2

3

，
又拋物線y2=-2

3

x的準(zhǔn)線為：x=

3

2

．（2分）
設(shè)雙曲線M的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，依題意有

a2

c

=

3

2

故a2=

3

2

c

3

2

•2

3

=   3，又b²=c²-a²=12-3=9．
∴雙曲線M的方程為

x2

3

-

y2

9

=1．（4分）
（Ⅱ）設(shè)直線l與雙曲線M的交點(diǎn)為A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）、兩點(diǎn)
聯(lián)立方程組

x2 3 - y2 9 =1  y=kx+3

消去y得（k²-3）x²+6kx+18=0，（5分）
∵A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是上述方程的兩個不同實(shí)根，∴k²-3≠0
∴△=36k²-4（k²-3）×18＞0，解可得，-

6

＜k＜

6

，
從而有x1+x2=-

6k

k2-3

，x1x2=

18

k2-3

．（7分）
∴y₁y₂=（kx₁+3）（kx₂+3）=k²x₁x₂+3k（x₁+x₂）+9=

18k2

k2-3

-

18k2

k2-3

+9=9．
若

OA

•

OB

=0，則有x₁x₂+y₁y₂=0，即

18

k2-3

+9=0
∴k=±1
∴當(dāng)k=±1時，使得

OA

•

OB

=0，（10分）
②若存在實(shí)k，使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=mx+12對稱，則必有k=-

1

m

因此，當(dāng)m=0時，不存在滿足條件的k；
當(dāng)m≠0時，由

3 x 2 1 - y 2 1 =9 3 x 2 2 - y 2 2 =9

得3（x₁²-x₂²）-（y₁²-y₂²）=0
∴k•

y1+y2

2

=3•

x1+x2

2

∵A、B中點(diǎn)P（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

）在直線y=mx+12上，
∴

y1+y2

2

=m•

x1+x2

2

+12，代入上式得
km•

x1+x2

2

+12k=3•

x1+x2

2

，又km=-1，∴x₁+x₂=6k（13分）
將x1+x2=-

6k

k2-3

代入并注意到k≠0，得k=±

2

．
∴當(dāng)m≠0時，存在實(shí)數(shù)k=±

2

，使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=mx+12對稱（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查了由雙曲線的性質(zhì)求解雙曲線的方程及直線與曲線的位置關(guān)系，要求考生具備一定的邏輯推理與計(jì)算的能力，本題具有較大的綜合性．