Question

若正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁內(nèi)接于半徑為R的半球，上底面頂點A₁、B₁、C₁、D₁在半球球面上，下底面ABCD在半球的底面上，則該正四棱柱體積的最大值為

 

．

Answer 1

分析：在圖形中令球心為O，連接OA₁，OA，令OA₁與底面的夾角為α，則可用球的半徑R與α的三角函數(shù)值將棱柱的高與底面邊長表示出來，由此可以將棱柱的體積表示成解α的函數(shù)，求這個三角函數(shù)的最大值即可得到該正四棱柱體積的最大值

解答：解：如圖在圖形中令球心為O，底面邊長為a，連接OA₁，OA，令OA₁與底面的夾角為α，由圖OA₁=R，則棱柱的高是Rsinα，底面正方形的對角線長的一半是Rcosα
即

2

a=2Rcosα，由此得底面邊長是

2

Rcosα
故正四棱柱的體積是V=2R²cos²α×Rsinα=2R³cos²αsinα
V'=2R³（-2cosαsin²α+cos³α）=2R³cosα（-2+3cos²α）
令V'=0，可以解得cosα=0，舍，或cos²α=

2

3

，即sin²α=

1

3

，sinα=

3

3

由此知正四棱柱體積的最大值為V=2R³×

2

3

×

3

3

=

4 3

9

R3
故答案為：

4 3

9

R3

點評：本題考查棱柱、棱錐、棱臺的體積，求解本題關鍵是建立三角函數(shù)模型將正四棱柱體積用三角函數(shù)模型表示出來，然后借助導數(shù)研究出三角函數(shù)的最大值得出體積的最大值來，本題屬于三角函數(shù)模型在求面積中的應用，根據(jù)題意建立適當?shù)哪Ｐ褪墙鉀Q一個實際問題的關鍵，學習時要注意積累此類題中模型的建立方法．