精英家教網(wǎng)若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1內(nèi)接于半徑為R的半球,上底面頂點A1、B1、C1、D1在半球球面上,下底面ABCD在半球的底面上,則該正四棱柱體積的最大值為
 
分析:在圖形中令球心為O,連接OA1,OA,令OA1與底面的夾角為α,則可用球的半徑R與α的三角函數(shù)值將棱柱的高與底面邊長表示出來,由此可以將棱柱的體積表示成解α的函數(shù),求這個三角函數(shù)的最大值即可得到該正四棱柱體積的最大值
解答:解:如圖在圖形中令球心為O,底面邊長為a,連接OA1,OA,令OA1與底面的夾角為α,由圖OA1=R,則棱柱的高是Rsinα,底面正方形的對角線長的一半是Rcosα
2
a=2Rcosα,由此得底面邊長是
2
Rcosα
故正四棱柱的體積是V=2R2cos2α×Rsinα=2R3cos2αsinα
V'=2R3(-2cosαsin2α+cos3α)=2R3cosα(-2+3cos2α)
令V'=0,可以解得cosα=0,舍,或cos2α=
2
3
,即sin2α=
1
3
,sinα=
3
3

由此知正四棱柱體積的最大值為V=2R3×
2
3
×
3
3
=
4
3
9
R3

故答案為:
4
3
9
R3
點評:本題考查棱柱、棱錐、棱臺的體積,求解本題關(guān)鍵是建立三角函數(shù)模型將正四棱柱體積用三角函數(shù)模型表示出來,然后借助導數(shù)研究出三角函數(shù)的最大值得出體積的最大值來,本題屬于三角函數(shù)模型在求面積中的應用,根據(jù)題意建立適當?shù)哪P褪墙鉀Q一個實際問題的關(guān)鍵,學習時要注意積累此類題中模型的建立方法.
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A、
3
3
B、1
C、
2
D、
3

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精英家教網(wǎng)如圖,若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面邊長為2,高為4,則異面直線BD1與AD所成角的大小是
 
(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示).

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3
3

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2
,則異面直線BD1與AD所成角的大小是
 

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