Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和是S_n 且Sn=2n2，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和是T_n且Tn+

1

2

bn=1．n∈N^*
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（3）記c_n=a_n•b_n，求證：當(dāng)n≥2時(shí)，數(shù)列{c_n}是遞減數(shù)列．

Answer 1

分析：（1）利用an=

Sn，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，由Sn=2n2，能求出a_n．
（2）由T_n=1-

1

2

bn，當(dāng)n=1時(shí)，解得b1=

2

3

；當(dāng)n≥2時(shí)，Tn-1=1-

1

2

bn-1，由此能夠證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．
（3）由a_n=4n-2，b_n=

2

3n

，知c_n=a_n•b_n=（4n-2）•

2

3n

=

4(2n-1)

3n

．由此能夠證明c_n+1≤c_n．

解答：（1）解：∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和是S_n 且Sn=2n2，
∴a₁=S₁=2，
a_n=S_n-S_n-1=2n²-2（n-1）²=4n-2，
當(dāng)n=1時(shí)，4n-2=2=a₁，
∴a_n=4n-2．
（2）證明：∵數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和是T_n且Tn+

1

2

bn=1．n∈N^*，
∴T_n=1-

1

2

bn，
當(dāng)n=1時(shí)，b1=1-

1

2

b1，解得b1=

2

3

；
當(dāng)n≥2時(shí)，Tn-1=1-

1

2

bn-1，②
①-②，得b_n=

1

2

bn-1-

1

2

bn，
∴bn=

1

3

bn-1，
又∵b₁=

2

3

≠0，
∴

bn

bn-1

=

1

3

，
∴數(shù)列{b_n}是以

2

3

為首項(xiàng)，

1

3

為公比的等比數(shù)列．
（3）證明：由（2）得b_n=

2

3n

，
∴c_n=a_n•b_n=（4n-2）•

2

3n

=

4(2n-1)

3n

．
∴c_n+1-c_n=

4(2n+1)

3n+1

-

4(2n-1)

3n

=

16(1-n)

3n+1

，
∵n≥1，∴c_n+1-c_n≤0，
故c_n+1≤c_n．所以數(shù)列是遞減數(shù)列

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查等比數(shù)列的證明，考查不等式的證明．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法和作差相減法的合理運(yùn)用．