Question

點(diǎn)H（-3，0），點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)Q在x軸正半軸上，點(diǎn)M在直線PQ上，且滿足

HP

•

PM

=0，

PM

=-

3

2

MQ

（1）當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C的方程
（2）過定點(diǎn)D（m，0）（m＞0）做直線l交軌跡C于A、B兩點(diǎn)，E是D關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，求證：∠AED=∠BED．
（3）在（2）中，是否存在垂直于x軸的直線被以AD為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)M(x，y)，則P(0，-

y

2

)，Q(

x

3

，0)則可得，

HP

=(3，-

y

2

)，

PM

=(x，

3y

2

)，由

HP

•

PM

=0代入整理可求
（2）要證明∠AED=∠BED，根據(jù)直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，只要證K_AE=-K_BE即可
（3）假設(shè)存在滿足條件的直線，根據(jù)垂徑定理得性質(zhì)可知，要使正弦長為定值，則只要圓心到直線的距離為定值即可

解答：解：（1）設(shè)M(x，y)，則P(0，-

y

2

)，Q(

x

3

，0)
則可得，

HP

=(3，-

y

2

)，

PM

=(x，

3y

2

)
∴

HP

•

PM

=3x-

3y2

4

=0
所以：y²=4x
（2）當(dāng)AB垂直x軸時(shí)，A、B關(guān)于x軸對稱，所以∠AED=∠BED
當(dāng)AB存在斜率時(shí)，設(shè)直線AB：y=k（x-m），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

y2=4x y=k(x-m) k2x2-2(mk2+2)x+k2m2=0 x1+x2= 2(mk2+2) k2 x1x2=m2

kAE+kBE=

y1

x1+m

+

y2

x2+m

=

k(x1-m)(x2+m)+k(x2-m)(x1+m)

(x1+m)(x2+m)

=0
所以k_AE=-k_BE
所以∠AED=∠BED
（3）假設(shè)存在垂直x軸的直線x=n，弦長為d
則

1 4 d2= 1 4 AD2-( x1+m 2 -n)2 =(n-m+1)x1+mn-n2

當(dāng)m=1時(shí)不存在
當(dāng)m＞0且m≠1時(shí)，存在直線x=m-1

點(diǎn)評：本題以向量得數(shù)量積得坐標(biāo)表示為載體考查了圓錐曲線得求解及直線與圓、圓錐曲線的位置關(guān)系得求解．屬于綜合試題．