Question

（2012•石家莊一模）有一批貨物需要用汽車(chē)從城市甲運(yùn)至城市乙，已知從城市甲到城市乙只有兩條公路，且通過(guò)這兩條公路所用的時(shí)間互不影響．
據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，通過(guò)這兩條公路從城市甲到城市乙的200輛汽車(chē)所用時(shí)間的頻數(shù)分布如表：

所用的時(shí)間（天數(shù)）	10	11	12	13
通過(guò)公路1的頻數(shù)	20	40	20	20
通過(guò)公路2的頻數(shù)	10	40	40	10

（I）為進(jìn)行某項(xiàng)研究，從所用時(shí)間為12天的60輛汽車(chē)中隨機(jī)抽取6輛．
（i）若用分層抽樣的方法抽取，求從通過(guò)公路1和公路2的汽車(chē)中各抽取幾輛；
（ii）若從（i）的條件下抽取的6輛汽車(chē)中，再任意抽取兩輛汽車(chē)，求這兩輛汽車(chē)至少有一輛通過(guò)公路1的概率．
（II）假設(shè)汽車(chē)4只能在約定日期（某月某日）的前11天出發(fā)，汽車(chē)1只能在約定日期的前12天出發(fā)．為了盡最大可能在各自允許的時(shí)間內(nèi)將貨物運(yùn)往城市乙，估計(jì)汽車(chē)4和汽車(chē)1應(yīng)如何選擇各自的路徑．

Answer 1

分析：（Ⅰ）（i）根據(jù)題意，所用時(shí)間為12天共有60輛汽車(chē)，其中公路1有20輛，公路2有40輛，由分層抽樣方法計(jì)算可得答案，
（ii） 通過(guò)公路1的兩輛汽車(chē)分別用a、b表示，通過(guò)公路2的4輛汽車(chē)分別用c、d、e、f表示，列舉從中任意抽取2輛汽車(chē)的情況，可得其情況的數(shù)目以及至少有1輛經(jīng)過(guò)公路1的情況數(shù)目，由古典概型計(jì)算公式，計(jì)算可得答案；
（Ⅱ）根據(jù)題意，設(shè)事件C₁、C₂分別表示汽車(chē)A在前11天出發(fā)選擇公路1、2將貨物運(yùn)往城市乙；事件D₁、D₂分別分別表示汽車(chē)B在前12天出發(fā)選擇公路1、2將貨物運(yùn)往城市乙，由頻率、頻數(shù)的關(guān)系計(jì)算可得頻率分布表，即可得P（C₁）與P（C₂），P（D₁）與P（D₂）的大小，比較可得答案．

解答：解：（Ⅰ） （i）根據(jù)題意，所用時(shí)間為12天共有60輛汽車(chē)，其中公路1有20輛，公路2有40輛，
公路1抽取6×

20

20+40

=2輛汽車(chē)，
公路2抽取6-2=4輛汽車(chē)．
（ii） 通過(guò)公路1的兩輛汽車(chē)分別用a、b表示，通過(guò)公路2的4輛汽車(chē)分別用c、d、e、f表示，
任意抽取2輛汽車(chē)共有15種可能的結(jié)果：依次為（a，b）、（a，c）、（a、d）、（a、e）、（a，f）、
（b，c）、（b、d）、（b、e）、（b，f）、（c、d）、
（c、e）、（c，f）、（d，e）、（d，f）、（e，f），
其中至少有1輛經(jīng)過(guò)公路1的有9種，
所以至少有1輛經(jīng)過(guò)1號(hào)公路的概率為

9

15

=

3

5

；
（Ⅱ）頻率分布表，如下：

所用時(shí)間	10	11	12	13
公路1的頻率	0.2	0.4	0.2	0.2
公路2的頻率	0.1	0.4	0.4	0.1

設(shè)事件C₁、C₂分別表示汽車(chē)4在前11天出發(fā)選擇公路1、2將貨物運(yùn)往城市乙；事件D₁、D₂分別分別表示汽車(chē)1在前12天出發(fā)選擇公路1、2將貨物運(yùn)往城市乙．
P（C₁）=0.2+0.4=0.6，P（C₂）=0.1+0.4=0.5，
P（C₁）＞P（C₂），
∴汽車(chē)4應(yīng)選擇公路1；
P（D₁）=0.2+0.4+0.2=0.8，P（D₂）=0.1+0.4+0.4=0.9，
P（D₁）＜P（D₂），
∴汽車(chē)1應(yīng)選擇公路2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查古典概率的計(jì)算，涉及頻率分布表的計(jì)算與應(yīng)用與分層抽樣方法；關(guān)鍵正確分析頻率分布表，得到有關(guān)的數(shù)據(jù)．