Question

某同學設計的反射鏡（如圖1）的縱截面是拋物線的一部分（如圖2），光源安裝在焦點F處．其中鏡口直徑AB=80厘米，鏡深OC=40厘米；根據(jù)實際需要，鏡口直徑、鏡深均需增加10厘米．問光源安裝的位置是否發(fā)生改變，說明你的理由．

Answer 1

分析：先以反射鏡定點為原點，以定點和焦點所在直線為x軸，建立直角坐標系．設拋物線方程為y²=2px，依題意可根據(jù)改進前后的點在拋物線上，代入拋物線方程，求得p，進而可求得焦距，答案可得．

解答：解：以拋物線的頂點為坐標原點，拋物線的頂點和焦點所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系，如圖所示：…（2分）
設反射鏡的縱截面所在拋物線的方程為y²=2px（p＞0）…（1分）
設計改進前，點（40，40）是拋物線線上的點，則40²=2p•40，解得p=20．…（2分）
所以此時拋物線的焦點（即光源安裝的位置）到頂點的距離為

p

2

=10厘米．…（1分）
設計改進后，點（50，45）是拋物線線上的點，則45²=2p•50，解得p=20.25…（2分）．
所以此時的焦點（即光源安裝的位置）到頂點的距離為

p

2

=10.125厘米…（1分）．
10.125-10=0.125厘米
綜上可知，設計改進前、后的反射鏡的光源安裝的位置不相同，在原來的基礎上加大0.125厘米…（1分）．

點評：本題主要考查拋物線的應用．拋物線在現(xiàn)實生活中應用很廣泛，在高考中也占據(jù)重要的地位，一定要掌握其基礎知識做到活學活用．