Question

8．已知P是橢圓$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1和雙曲線x²-y²=2的一個交點(diǎn)，若F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，則cos∠F₁PF₂=90°．

Answer 1

分析 不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，|F₁F₂|=4．則|PF₁|+|PF₂|=2$\sqrt{6}$，|PF₁|-|PF₂|=2$\sqrt{2}$，可得|PF₁|，|PF₂|．再利用余弦定理即可得出．

解答 解：不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，
|F₁F₂|=4．
則|PF₁|+|PF₂|=2$\sqrt{6}$，|PF₁|-|PF₂|=2$\sqrt{2}$，
∴|PF₁|=$\sqrt{6}$$+\sqrt{2}$，|PF₂|=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$．
∴cos∠F₁PF₂=$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$=$\frac{（\sqrt{6}+\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{6}-\sqrt{2}）^{2}-{4}^{2}}{2（\sqrt{6}+\sqrt{2}）（\sqrt{6}-\sqrt{2}）}$=0，
∴∠F₁PF₂=90°．
故答案為：90°．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓與雙曲線的定義、余弦定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．