Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)面PAB⊥底面ABCD，PA=PB=AB=2，AD=

3

，E為PB中點(diǎn)，F(xiàn)為CD中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求直線BF和平面PAD所成角的正弦值；
（3）在棱PD上是否存在點(diǎn)G，使∠AGC為鈍角？若存在，求出

PG

PD

的取值范圍；若不存在說明理由．

Answer 1

分析：（1）再取AB的中點(diǎn)為M，證明FM∥平面PAD，EM∥平面PAD，可得平面EFM∥平面PAD，從而證得EF∥平面PAD．
（2）由題意可得直線BF和平面PAD所成角，即為DM和平面PAD所成角．找出∠MDH為DG和平面PAD所成角，用面積法求得MH=

3

2

，在直角三角形MDH中，根據(jù)sin∠MDH=

MH

MD

，運(yùn)算求得結(jié)果．
（3）當(dāng)點(diǎn)G和點(diǎn)D重合時(shí)，∠AGC=90°，此時(shí)，

PG

PD

=1．在線段PD上，取一點(diǎn)H，使OD=OH=

7

2

，則點(diǎn)G在線段DH上時(shí)（不含端點(diǎn)D、H）∠AGC為鈍角．△PAB中，利用余弦定理求得cos∠PDB=

5

7

，△HOD中，由余弦定理解得x的值，可得 PH=PD-x的值．再由∠AGC為鈍角時(shí)，

PH

PD

＜

PG

PD

＜1，求得

PG

PD

的取值范圍．

解答：解：（1）再取AB的中點(diǎn)為M，則由題意可得FM與AD
平行且相等，而AD?平面PAD，
FM不在平面PAD 內(nèi)，故有FM∥平面PAD．
再根據(jù)EM為△PAB的中位線可得EM∥PA，
而PA?平面PAD，EM不在平面PAD 內(nèi)，
故有EM∥平面PAD．
這樣，在平面EFM中，有2條相交直線EM、FM都和
平面PAD 平行，故有平面EFM∥平面PAD，
∴EF∥平面PAD．
（2）由題意可得FD和BM平行且相等，
故FDMB為平行四邊形，
直線BF和平面PAD所成角即為DM和平面PAD所成角．
求得DM=

AM2+DM2

=

1+3

=2，再求得邊長為2的等邊三角形PAB的高線PM=

3

，
由側(cè)面PAB⊥底面ABCD可得PM⊥平面ABCD，故△PMD為直角三角形，∴PD=

PM2+MD2

=

7

．
在利用勾股定理可得PA⊥AD，∴AD⊥平面PAB，平面PAD⊥平面PAB．
過點(diǎn)M作MH⊥PA，則MH⊥平面PAD，故∠MDH為DG和平面PAD所成角．
用面積法求得MH=

3

2

，直角三角形MDH中，sin∠MDH=

MH

MD

=

3 2

2

=

3

4

．
（3）當(dāng)點(diǎn)G和點(diǎn)D重合時(shí)，∠AGC=90°，此時(shí)，

PG

PD

=1．
當(dāng)點(diǎn)G從點(diǎn)D向點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠AGC先是逐漸變大，后又逐漸變小，當(dāng)OG⊥PD時(shí)，∠AGC最大，（O為AC的中點(diǎn)）．
在線段PD上，取一點(diǎn)H，使OD=OH=

7

2

，則點(diǎn)G在線段DH上時(shí)（不含端點(diǎn)D、H）∠AGC為鈍角．
△PAB中，由PB=2、PD=

7

、BD=

7

，利用余弦定理求得cos∠PDB=

5

7

．
△HOD中，由于OH=OD=

7

2

，設(shè)HD=x，由余弦定理可得

7

4

=

7

4

+x²-2•

7

2

•x•cos∠PDB，
解得x=

5 7

7

，∴PH=PD-x=

2 7

7

，

PH

PD

=

2

7

．
綜上可得，∠AGC為鈍角時(shí)，

PH

PD

＜

PG

PD

＜1，即

2

7

＜

PG

PD

＜1．

點(diǎn)評：本題主要考查直線和平面平行的判定定理的應(yīng)用，求直線和平面所成的角，屬于難題．