Question

（本小題滿分16分）

已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別A、B，橢圓過點(diǎn)（0，1）且離心率.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過橢圓上異于A，B兩點(diǎn)的任意一點(diǎn)P作PH⊥軸，H為垂足，延長HP到點(diǎn)Q，且PQ=HP，過點(diǎn)B作直線軸，連結(jié)AQ并延長交直線于點(diǎn)M，N為MB的中點(diǎn)，試判斷直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關(guān)系.

 

Answer 1

【答案】

（1）.（2）直線QN與圓O相切.

【解析】(1)由b=1和離心率e,可求出a,c的值,從而可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(II) 設(shè)，則，設(shè)，∵HP=PQ，∴

即，將代入得，

所以Q點(diǎn)在以O(shè)為圓心，2為半徑的圓上，即Q點(diǎn)在以AB為直徑的圓O上.

然后求出N的坐標(biāo),再對(duì)坐標(biāo)化可得=0,從而證得直線QN與圓O相切.

解： （1）因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)（0，1），所以，又橢圓的離心率得，

即，由得，所以，

故所求橢圓方程為.（6分）

（2）設(shè)，則，設(shè)，∵HP=PQ，∴

即，將代入得，

所以Q點(diǎn)在以O(shè)為圓心，2為半徑的圓上，即Q點(diǎn)在以AB為直徑的圓O上.

又A（－2，0），直線AQ的方程為，令，則，

又B（2，0），N為MB的中點(diǎn)，∴，，

∴

，∴，∴直線QN與圓O相切.（16分）