Question

已知函數(shù)f（x）=|x-a|，g（x）=x²+2ax+1（a為正常數(shù)），且函數(shù)f（x）與g（x）的圖象在y軸上的截距相等．
（1）求a的值；
（2）若h（x）=f（x）+b（b為常數(shù)），試討論函數(shù)h（x）的奇偶性．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用函數(shù)f（x）與g（x）的圖象在y軸上的截距相等，建立方程，可求a的值；
（2）利用奇偶函數(shù)的定義，確定b的值，進而可得函數(shù)的奇偶性．
解答：解：（1）由題意，∵函數(shù)f（x）與g（x）的圖象在y軸上的截距相等，
∴f（0）=g（0），即|a|=1，又a＞0，故a=1．（4分）
（2）h（x）=f（x）+b=|x-1|+b|x+1|，其定義域為R，（8分）
∴h（-x）=|x+1|+b|x-1|．
若h（x）為偶函數(shù)，即h（x）=h（-x），則有b=1，此時h（2）=4，h（-2）=4，
故h（2）≠-h（-2），即h（x）不為奇函數(shù)；
若h（x）為奇函數(shù)，即h（x）=-h（-x），則b=-1，此時h（2）=2，h（-2）=-2，
故h（2）≠h（-2），即h（x）不為偶函數(shù)；
綜上，當且僅當b=1時，函數(shù)h（x）為偶函數(shù)，且不為奇函數(shù)，（10分）
當且僅當b=-1時，函數(shù)h（x）為奇函數(shù)，且不為偶函數(shù)，（12分）
當b≠±1時，函數(shù)h（x）既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)．（14分）
點評：本題考查函數(shù)的性質，考查函數(shù)的奇偶性，正確運用函數(shù)奇偶性的定義是關鍵．