Question

20．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+$\frac{1-a}{x}$+1 （a∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a∈（$\frac{1}{3}$，1）時(shí)，若對(duì)任意t∈[2，3]，在x∈（0，t]時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為f（t），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分別解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得出函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
（Ⅱ）先求導(dǎo)，比較1與$\frac{1-a}{a}$的大小關(guān)系，對(duì)a分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{1}{x}-a-\frac{1-a}{x^2}=\frac{{-a{x^2}+x+a-1}}{x^2}=\frac{-（ax+a-1）（x-1）}{x^2}$（x＞0），
令g（x）=-[ax-（1-a）]（x-1）
當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=x-1，x∈（1，+∞）時(shí)，g（x）＞0⇒f'（x）＞0⇒f（x）單調(diào)遞增，a＜0時(shí)，
由x＞0，得ax-（1-a）＜0，
所以x∈（1，+∞）時(shí)，g（x）＞0⇒f'（x）＞0⇒f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)a＞0時(shí)，$g（x）=-a[{（x-\frac{1-a}{a}）（x-1）}]$，
若$\frac{1-a}{a}=1$，則$a=\frac{1}{2}$
當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$，x∈（1，$\frac{1-a}{a}$），f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)a=$\frac{1}{2}$，f（x）在（0，+∞）上無遞增區(qū)間，
當(dāng)$\frac{1}{2}$＜a≤1時(shí)，x∈（ $\frac{1-a}{a}$，1），f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)a＞1時(shí)，x∈（0，1）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞）；
當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為（1，$\frac{1-a}{a}$）；
當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，無單調(diào)遞增區(qū)間；$\frac{1}{2}$＜a≤1時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為（ $\frac{1-a}{a}$，1）；
當(dāng)a＞1時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1）．
（2）由題知函數(shù)∴$f'（x）=\frac{1}{x}-a-\frac{1-a}{x^2}=-\frac{{a（x-1）（x-\frac{1-a}{a}）}}{x^2}$．
①當(dāng)$a∈（{\frac{1}{3}，\frac{1}{2}}）$時(shí)，$\frac{1-a}{a}-1=\frac{1-2a}{a}$＞0，
于是x∈（0，1）和$x∈（\frac{1-a}{a}，+∞）$時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
$x∈（1，\frac{1-a}{a}）$時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
又因?yàn)?\frac{1-a}{a}＜2$，要對(duì)任意實(shí)數(shù)t∈[2，3]，當(dāng)x∈（0，t]時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為f（t），只需要f（2）≤f（1），
即$ln2-2a+\frac{1-a}{2}+1≤-2a+2$，
解得a≥2ln2-1．
∵$\frac{1}{2}≥2ln2-1$，
∴$2ln2-1≤a＜\frac{1}{2}$；
②當(dāng)$a=\frac{1}{2}$時(shí)，$\frac{1-a}{a}=1，f'（x）=\frac{{-\frac{1}{2}{{（x-1）}^2}}}{x^2}$，
在x∈（0，+∞）上，恒有f'（x）≤0，有且僅有f'（1）=0，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，顯然成立．
③當(dāng)$\frac{1}{2}＜a＜1$時(shí)，$\frac{1-a}{a}＞0，\frac{1-a}{a}-1=\frac{1-2a}{a}＜0$，
于是$x∈（{0，\frac{1-a}{a}}）$和x∈（1，+∞）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
$x∈（1，\frac{1-a}{a}）$時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
要對(duì)任意實(shí)數(shù)t∈[2，3]，
當(dāng)x∈（0，t]時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為f（t），只需要$f（2）≤f（\frac{1-a}{a}）$，
即$ln\frac{1-a}{a}-（1-a）+a+1≥ln2-2a+\frac{1-a}{2}+1?ln\frac{1-a}{a}+\frac{9}{2}a≥ln2+\frac{3}{2}$；
令$g（a）=ln\frac{1-a}{a}+\frac{9}{2}a，a∈（{\frac{1}{2}，1}）$，
$g'（a）=\frac{1}{a（a-1）}+\frac{9}{2}=\frac{（3a-1）（3a-2）}{2a（a-1）}$，
所以g（a）在$（{\frac{1}{2}，\frac{2}{3}}）$上單調(diào)遞減，在$（{\frac{2}{3}，1}）$上單調(diào)遞增減，
g（a）≥$g（\frac{2}{3}）=3-ln2$＞ln2+$\frac{3}{2}$，所以此時(shí)恒定滿足題意．
綜上所述：a∈[2ln2-1，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、分類討論思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．