Question

20.已知正三角形的三個頂點(diǎn)都在拋物線上，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)圓是三角形的外接圓（點(diǎn)為圓心）

（I）求圓的方程；

（II）設(shè)圓的方程為，過圓上任意一點(diǎn)分別作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，求的最大值和最小值.

Answer 1

（I）解法一：設(shè)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為由題設(shè)知

解得

解得

所以A(6,2),B(6,-2)或A(6,-2),B(6,2).

設(shè)圓心C的坐標(biāo)為（r,0）,則r=×6=4.因此圓C的方程為

(x-4)²+y²=16.                                                                                           

解法二：設(shè)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x₁,y₁）,(x₂,y₂),由題設(shè)知

x₁²+ y₁²= x₂²+ y₂²

又因為y₁²=2x₁,y₂²=2x₂,可得x₁²+2x₁= x₂²+2x₂,即

（x₁- x ₂）(x ₁+ x ₂+2)=0.

由x₁＞0,x₂＞0,可知x₁=x₂,故A、B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，所以圓心C在x軸上.

設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為（r,0）,則A點(diǎn)坐標(biāo)為，于是有,解得r=4,所以圓C的方程為

（x-4）²+y²=16.                                                                                       

（II）解：設(shè)∠ECF=2a,則

··cos2a=16 cos2a =32cos²a-16.                                 

在Rt△PCE中，cosa=由圓的幾何性質(zhì)得

|PC|≤|MC|+1=7+1=8，|PC|≥|MC|-1=7-1=6.                                              

所以，由此可得

-8≤≤.

故的最大值為，最小值為-8.