Question

正弦曲線關(guān)于原點、(π，0)、(－π，0)成中心對稱圖形．結(jié)合正弦函數(shù)的圖像，你發(fā)現(xiàn)正弦曲線還有其他對稱中心嗎？

Answer 1

答案：
解析：

由于正弦函數(shù)是奇函數(shù)，則其圖像關(guān)于原點對稱． 　　設(shè)點P(x0，y0)是正弦函數(shù)y＝sinx圖像上任意一點，則y0＝sinx0． 　　那么點P(x0，y0)關(guān)于點(π，0)的對稱點為M(2π－x0，－y0)， 　　∵sin(2π－x0)＝－sinx0， 　　∴sin(2π－x0)＝－y0， 　　即點M(2π－x0，－y0)也在正弦函數(shù)y＝sinx的圖像上． 　　又∵點P(x0，y0)是正弦函數(shù)y＝sinx圖像上任意一點， 　　∴正弦曲線關(guān)于(π，0)成中心對稱圖形． 　　同理可證正弦曲線關(guān)于(－π，0)成中心對稱圖形． 　　如圖所示，觀察正弦函數(shù)的圖像，可歸納，得原點、(±π，0)都是正弦曲線與x軸的交點，可猜想正弦曲線與x軸的交點(kπ，0)(k∈Z)都是正弦曲線的對稱中心． 　　證明：設(shè)點P(x0，y0)是正弦函數(shù)y＝sinx圖像上任意一點，則y0＝sinx0． 　　則點P(x0，y0)關(guān)于點(kπ，0)的對稱點M(2kπ－x0，－y0)， 　　∵sin(2kπ－x0)＝－sinx0， 　　∴sin(2kπ－x0)＝－y0， 　　即點M(2kπ－x0，－y0)也在正弦函數(shù)y＝sinx圖像上． 　　∵點P(x0，y0)是正弦函數(shù)y＝sinx圖像上任意一點， 　　∴正弦曲線關(guān)于(kπ，0)成中心對稱圖形． 　　綜上可得，正弦曲線的對稱中心是正弦曲線與x軸的交點，即此時的正弦值為0；并且任意相鄰的兩個對稱中心正好相差半個周期．