Question

5．已知雙曲線${C_1}：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$與雙曲線${C_2}：{x^2}-\frac{y^2}{2}=1$的離心率相同，雙曲線C₁的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，M是雙曲線C₁的一條漸近線上的點(diǎn)，且OM⊥MF₂，若△OMF₂的面積為$2\sqrt{2}$，則雙曲線C₁的實(shí)軸長(zhǎng)是（　�。�

• A． 32
• B． 16
• C． 8
• D． 4

Answer 1

分析 求出雙曲線${C_2}：{x^2}-\frac{y^2}{2}=1$的離心率，可得雙曲線${C_1}：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率e，求出雙曲線C₁的漸近線方程，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式可得|MF₂|，運(yùn)用勾股定理可得|OM|，由三角形的面積公式，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，即可得到所求實(shí)軸長(zhǎng)．

解答 解：雙曲線${C_2}：{x^2}-\frac{y^2}{2}=1$的離心率為$\frac{\sqrt{1+2}}{1}$=$\sqrt{3}$，
可得雙曲線${C_1}：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，
雙曲線${C_1}：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
可得|MF₂|=$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=b，
即有|OM|=$\sqrt{{c}^{2}-^{2}}$=a，
由△OMF₂的面積為$2\sqrt{2}$，可得$\frac{1}{2}$ab=2$\sqrt{2}$，
由c=$\sqrt{3}$a，可得b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
則a²=4，即a=2．即有2a=4．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是漸近線方程和離心率，考查點(diǎn)到直線的距離公式，以及三角形的面積公式的運(yùn)用，化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．