Question

已知f（x）=sinx，x∈R，g（x）的圖象與f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)(

π

4

，0)對(duì)稱，則在區(qū)間[0，2π]上滿足f（x）≤g（x）的x的取值范圍是

[

3π

4

，

7π

4

]

．

Answer 1

分析：設(shè)（a，b）為f（x）上任意一點(diǎn)，設(shè)此點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(

π

4

，0)對(duì)稱的點(diǎn)為：（x，y），建立（a，b）與（x，y）的關(guān)系，求出g（x），最后求出x的范圍即可．

解答：解：∵f（x）=sinx，x∈R，而g（x）的圖象與f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)(

π

4

，0)對(duì)稱，設(shè)（a，b）為f（x）上任意一點(diǎn)，
設(shè)此點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(

π

4

，0)對(duì)稱的點(diǎn)為：（x，y），根據(jù)題意有：

a+x= π 2 b+y=0

，解得

a= π 2 -x b=-y

．
∵（a，b）為f（x）上任意一點(diǎn)，∴b=sina，即：-y=sin（

π

2

-x），∴y=g（x）=-cosx．
∴在區(qū)間[0，2π]上，由f（x）≥g（x）可得sinx≤-cosx，即 sinx+cosx≤0，即

2

sin（x+

π

4

）≤0，即 sin（x+

π

4

）≤0．
故有 π≤x+

π

4

≤2π，由此可得x的范圍是：

3π

4

≤x≤

7π

4

，
故答案為[

3π

4

，

7π

4

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦函數(shù)的對(duì)稱性，求一個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于某個(gè)點(diǎn)對(duì)稱的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，屬于中檔題．