Question

已知函數(shù)f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx+a，且f(

π

6

)=4．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

4

，

π

3

]上的值域．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的定義域和值域

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）由f(

π

6

)=4可得關于a的方程，解方程可得；
（Ⅱ）化簡可得f（x）=2sin(2x+

π

6

)+2，由x的范圍和三角函數(shù)公式可得．

解答： 解：（Ⅰ）∵f(

π

6

)=4，
∴2×(

3

2

)2+2

3

×

1

2

×

3

2

+a=4
解關于a的方程可得a=1．
（Ⅱ）化簡可得f(x)=2cos2x+2

3

sinxcosx+1
=cos2x+

3

sin2x+2=2sin(2x+

π

6

)+2．
∵-

π

4

≤x≤

π

3

，∴-

π

3

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，
∴-

3

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，∴2-

3

≤f(x)≤4，
∴函數(shù)f（x）的值域為[2-

3

，4]

點評：本題考查三角函數(shù)公式，涉及三角函數(shù)的值域，屬基礎題．