已知拋物線C:, 過(guò)拋物線C上點(diǎn)M且與M處的切線垂直的直線稱為拋物線C在點(diǎn)M的法線。

⑴若拋物線C在點(diǎn)M的法線的斜率為 ，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

⑵設(shè)P為C對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，在C上是否存在點(diǎn)，使得C在該點(diǎn)的法線通過(guò)點(diǎn)P。若有，求出這些點(diǎn)，以及C在這些點(diǎn)的法線方程；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

【答案】

 

（1）（，）

（2）略

【解析】解：

⑴函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，點(diǎn)處切線的斜率k0=

.∵過(guò)點(diǎn)的法線斜率為，∴（）=，解得，。

故點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）。

⑵設(shè)M為C上一點(diǎn)，

若，則C上點(diǎn)M處的切線斜率k=0,

過(guò)點(diǎn)M的法線方程為，次法線過(guò)點(diǎn)P;

若，則過(guò)點(diǎn)M的法線方程為：。

若法線過(guò)點(diǎn)P，則，即。

若，則，從而，

代入得，。

若，與矛盾，若，則無(wú)解。

綜上，當(dāng)時(shí)，在C上有三點(diǎn)（，），（，）及，

在該點(diǎn)的法線通過(guò)點(diǎn)P，

法線方程分別為，，。

當(dāng)時(shí)，在C上有一點(diǎn)，在該點(diǎn)的法線通過(guò)點(diǎn)P，法線方程為。

 

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（09年海淀區(qū)二模理）（13分）

已知拋物線C:，過(guò)定點(diǎn)，作直線交拋物線于（點(diǎn)在第一象限）.

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（本小題12分）已知拋物線C：過(guò)點(diǎn)A

（1）求拋物線C 的方程；

（2）直線過(guò)定點(diǎn)，斜率為，當(dāng)取何值時(shí)，直線與拋物線C只有一個(gè)公共點(diǎn)。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013屆吉林省長(zhǎng)春市高二上學(xué)期期末文科數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

已知拋物線C：過(guò)點(diǎn)．

（Ⅰ）求拋物線C的方程，并求其準(zhǔn)線方程；

（Ⅱ）是否存在平行于OM(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的直線，使得直線與拋物線C有公共點(diǎn)，且直線OM與的距離等于？若存在，求直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

(本小題滿分14分）

已知拋物線C：過(guò)點(diǎn)A

（I）求拋物線C的方程，并求其準(zhǔn)線方程；

（II）是否存在平行于OA（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的直線，使得直線與拋物線C有公共點(diǎn)，且直線OA與的距離等于？若存在，求直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（本小題滿分12分）

已知拋物線C：過(guò)點(diǎn)A （1 , -2）。

（1）求拋物線C 的方程；

（2）是否存在平行于OA（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的直線L，使得直線L與拋物線C有公共點(diǎn)，且直線OA與L的距離等于？若存在，求直線L的方程；若不存在，說(shuō)明理由。

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