已知橢圓方程為，過右焦點斜率為1的直線到原點的距離為.

(1)求橢圓方程.
(2)已知為橢圓的左右兩個頂點，為橢圓在第一象限內(nèi)的一點，為過點且垂直軸的直線，點為直線與直線的交點，點為以為直徑的圓與直線的一個交點，求證：三點共線.

（1）；（2）詳見解析.

解析試題分析：(1)由過右焦點斜率為1的直線到原點的距離為可以得到右焦點坐標，即的值.再由公式可得橢圓方程.此處注意因為是右焦點，即焦點在軸上，從而得到對應的分母1即為；（2）由點坐標設出直線的點斜式方程，聯(lián)立橢圓方程求出的坐標.易知直線的方程，所以易求得點坐標，由圓的性質(zhì)知，則只要就有直線、重合，即三點共線.因為點的坐標已求得，可通過向量數(shù)量積予以證明.注意本題如選擇求點坐標則將較為繁瑣，增加了解題的計算量，這里合理利用圓的直徑對應的圓周角是直角這一性質(zhì)，簡化了運算.
試題解析：（1）設右焦點為，則過右焦點斜率為1的直線方程為：    1分
則原點到直線的距離                        3分
方程                                                   4分

（2）點坐標為                                             5分
設直線方程為：，設點坐標為
得：                    6分
      7分    9分
    10分
由圓的性質(zhì)得：
又點的橫坐標為   點的坐標為    11分
     11分          13分
即，又三點共線               14分 
考點：1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；2.直線的方程；3.平面向量的應用.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設拋物線的焦點為，準線為，，以為圓心的圓與相切于點，的縱坐標為，是圓與軸除外的另一個交點.
(I)求拋物線與圓的方程；
( II)已知直線，與交于兩點，與交于點,且， 求的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓：，
（1）若橢圓的長軸長為4，離心率為，求橢圓的標準方程；
（2）在（1）的條件下，設過定點的直線與橢圓交于不同的兩點，且為銳角（為坐標原點），求直線的斜率的取值范圍；
（3）過原點任意作兩條互相垂直的直線與橢圓：相交于四點，設原點到四邊形的一邊距離為，試求時滿足的條件.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知是橢圓的右焦點，圓與軸交于兩點，是橢圓與圓的一個交點，且 
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）過點與圓相切的直線與的另一交點為，且的面積為，求橢圓的方程

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，直線與以原點為圓心、以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.
（1）求橢圓的方程；
（2）設橢圓的左焦點為，右焦點為，直線過點，且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于，垂足為點，線段的垂直平分線交于點，求點的軌跡的方程；
（3）設與軸交于點，不同的兩點在上（與也不重合），且滿足，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，且過點.
（1）求橢圓的方程；
（2）若過點C（-1，0）且斜率為的直線與橢圓相交于不同的兩點，試問在軸上是否存在點，使是與無關(guān)的常數(shù)？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓（）右頂點到右焦點的距離為，短軸長為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過左焦點的直線與橢圓分別交于、兩點，若線段的長為，求直線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的中心在坐標原點，右準線為，離心率為．若直線與橢圓交于不同的兩點、，以線段為直徑作圓.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若圓與軸相切，求圓被直線截得的線段長.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知，曲線上任意一點分別與點、連線的斜率的乘積為．
（Ⅰ）求曲線的方程；
（Ⅱ）設直線與軸、軸分別交于、兩點，若曲線與直線沒有公共點，求證：．

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