Question

17．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠BAD=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）若PD=AD=1，求三棱錐D-PAB的高．

Answer 1

分析 （1）因為∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=$\sqrt{3}$AD，利用勾股定理證明BD⊥AD，根據(jù)PD⊥底面ABCD，易證AD⊥PD，根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，可證AD⊥PB；
（2）利用等體積方法，即可求三棱錐D-PAB的高．

解答 （Ⅰ）證明：因為∠DAB=60°，AB=2AD，
由余弦定理得BD=$\sqrt{3}$AD．
從而BD²+AD²=AB²，∴BD⊥AD，
又由PD⊥底面ABCD，AD?面ABCD，可得AD⊥PD．
所以AD⊥平面PBD．故AD⊥PB；
（2）解：△PAB中，PA=$\sqrt{2}$，PB=2，AB=2，∴S_△PAB=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{4-\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
設(shè)三棱錐D-PAB的高為h，則由等體積可得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}×1=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{7}}{2}h$，
∴h=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

點評 此題是個中檔題．考查線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理，以及點到面的距離，查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題能力．