Question

在寬8米的教室前面有一個長6米的黑板，學(xué)生區(qū)域CDFE距黑板最近1米，如圖，在CE上尋找黑板AB的最大視角點P，AP交CD于Q，區(qū)域CPQ為教室黑板的盲區(qū)，求此區(qū)域面積為

4 7 -7

7

Answer 1

分析：設(shè)PC=x（x≥0），∠BPM=α，∠APM=β，∠BPA=θ（0＜θ＜

π

2

）則tanα=

7

x+1

，tanβ=

1

1+x

，而tanθ=tan（α-β）=

tanα-tanβ

1+tanαtanβ

=

6

x+1+ 7 x+1

，結(jié)合函數(shù)f（x）=x+1+

7

x+1

，（x≥0）的單調(diào)性可求f（x）的最小值，從而可求tanθ最大也即θ最大值及相應(yīng)的CP，在Rt△CPQ中，由tanβ=

CQ

CP

可得CQ=CP•tanβ可求CQ，代入三角形的面積公式S_△CPQ=

1

2

×CQ×CP可求

解答：解：設(shè)PC=x（x≥0），∠BPM=α，∠APM=β，∠BPA=θ（0＜θ＜

π

2

）
則tanα=

7

x+1

，tanβ=

1

1+x

tanθ=tan（α-β）=

tanα-tanβ

1+tanαtanβ

=

7 x+1 - 1 x+1

1+ 7 x+1 • 1 x+1

=

6(x+1)

(x+1)2+7

=

6

x+1+ 7 x+1

令f（x）=x+1+

7

x+1

，（x≥0）則f（x）在[0，

7

-1]單調(diào)遞減在，[

7

-1，+∞)單調(diào)遞增
∴f(x)min=f(

7

-1)=2

7

，此時x+1=

7

x+1

即x=

7

-1時，函數(shù)f（x）有最小值，tanθ最大也即θ最大
∴Rt△CPQ中，由tanβ=

CQ

CP

可得CQ=CP•tanβ=(

7

-1)•

1

7

=

7- 7

7

∴S_△CPQ=

1

2

×CQ×CP=

1

2

×(

7

-1)×

7- 7

7

=

4 7 -7

7

故答案為

4 7- 7

7

點評：本題主要考查視角的知識，兩角差的正切公式及利用函數(shù)f（x）=x+

k

x

（k＞0）的單調(diào)性求解函數(shù)的最值，屬于綜合性試題，兩角差的正切公式及函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵．