Question

6．已知函數(shù)f（x）=（x²-ax+b）e^x（a，b為常數(shù)，e是自然對數(shù)的底）．
（1）當(dāng)a=-1，b=1時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)b=a+1時，函數(shù)f（x）有兩個極值點x₁，x₂（x₁＜x₂）．
①求實數(shù)a的取值范圍；
②若a＞0且mx₁e${\;}^{{x}_{2}}$-f（x₂）＞0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=-1，b=1時，f′（x）=（x²+3x+2）e^x=（x+2）（x+1）e^x，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）①當(dāng)b=a+1時，f（x）=（x²-ax+a+1）e^x，求出導(dǎo)數(shù)，運用判別式大于0，解不等式即可得到所求范圍；②問題等價于m＞$\frac{f（{x}_{2}）}{{x}_{1}{e}^{{x}_{2}}}$=$\frac{{{x}_{2}}^{2}-a{x}_{2}+a+1}{{x}_{1}}$恒成立，即m＞-x₂²+2x₂+1恒成立，令t=a-2（t＞2），由x₂=$\frac{a-2+\sqrt{{a}^{2}-4a}}{2}$，令g（t）=$\frac{t+\sqrt{{t}^{2}-4}}{2}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（t）的最小值，從而求出m的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=-1，b=1時，f（x）=（x²+x+1）e^x，
f′（x）=（2x+1）e^x+（x²+x+1）e^x，
f′（x）=（x²+3x+2）e^x=（x+2）（x+1）e^x，
x∈（-∞，-2），f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)，
x∈（-2，-1），f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)，
x∈（-1，+∞），f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，-2），（-1，+∞），f（x）的減區(qū)間是（-2，-1）．
（2）①當(dāng)b=a+1時，f（x）=（x²-ax+a+1）e^x，
f′（x）=（2x-a）e^x+（x²-ax+a+1）e^x=[x²+（2-a）x+1）e^x，
∵f′（x）=0有2根x₁，x₂，
∴△=（2-a）²-4＞0，解得a＞4或a＜0，
則實數(shù)a的取值范圍為（-∞，0）∪（4，+∞）；
②a＞0且mx₁e${\;}^{{x}_{2}}$-f（x₂）＞0恒成立，
則a＞4且x₁+x₂=a-2，x₁x₂=1，
∴x₁＞0，m＞$\frac{f（{x}_{2}）}{{x}_{1}{e}^{{x}_{2}}}$=$\frac{{{x}_{2}}^{2}-a{x}_{2}+a+1}{{x}_{1}}$恒成立，
由于a=2+x₁+x₂，
即m＞-x₂²+2x₂+1恒成立，
令t=a-2（t＞2），由x₂=$\frac{a-2+\sqrt{{a}^{2}-4a}}{2}$，
令g（t）=$\frac{t+\sqrt{{t}^{2}-4}}{2}$，
t＞2時，函數(shù)g（t）=$\frac{t+\sqrt{{t}^{2}-4}}{2}$遞增，g（t）＞g（2）=1，
∴x₂＞1，∴--x₂²+2x₂+1＜2，
故m的范圍是[2，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，解決與不等式有關(guān)的參數(shù)范圍和證明問題，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，分類思想，考查運算能力，是一道綜合題．