Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F(xiàn)，G分別是PC，PD，BC的中點(diǎn)．
（1）在線段PB上確定一點(diǎn)Q，使PC⊥平面ADQ，并給出證明；
（2）證明平面EFG⊥平面PAD，并求出D到平面EFG的距離．

Answer 1

解：（1）證明：Q為線段PB中點(diǎn)時(shí)，PC⊥平面ADQ．
取PB中點(diǎn)Q，連接DE，EQ，AQ，
由于EQ∥BC∥AD，所以ADEQ為平面四邊形，
由PD⊥平面ABCD，得AD⊥PD，
又AD⊥CD，PD∩CD=D，所以AD⊥平面PDC，
所以AD⊥PC，
又三角形PDC為等腰直角三角形，E為斜邊中點(diǎn)，
所以DE⊥PC，AD∩DE=D，所以PC⊥平面ADQ．

（2）因?yàn)镃D⊥AD，CD⊥PD，AD∩PD=D，所以CD⊥平面PAD，
又EF∥CD，所以EF⊥平面PAD，所以平面EFG⊥平面PAD．（9分）
取AD中點(diǎn)H，連接FH，GH，則HG∥CD∥EF，平面EFGH即為平面EFG，
在平面PAD內(nèi)，作DO⊥FH，垂足為O，則DO⊥平面EFGH，DO即為D到平面EFG的距離，（11分）
在三角形PAD中，H，F(xiàn)為AD，PD中點(diǎn)，．
即D到平面EFG的距離為．（12分）
分析：（1）欲證PC⊥平面ADQ，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證PC與平面ADQ內(nèi)兩相交直線垂直，取PB中點(diǎn)Q，連接DE，EQ，AQ，
根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知AD⊥PD，AD⊥PC，又三角形PDC為等腰直角三角形，E為斜邊中點(diǎn)，則DE⊥PC，AD∩DE=D，滿足定理所需條件；
（2）欲證平面EFG⊥平面PAD，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面EFG內(nèi)一直線與平面PAD垂直，CD⊥AD，CD⊥PD，AD∩PD=D，滿足線面垂直的判定定理，則CD⊥平面PAD，再根據(jù)EF∥CD，則EF⊥平面PAD，滿足定理?xiàng)l件，取AD中點(diǎn)H，連接FH，GH，在平面PAD內(nèi)，作DO⊥FH，垂足為O，則DO⊥平面EFGH，DO即為D到平面EFG的距離，在三角形PAD中，求出DO即可．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、平面與平面的位置關(guān)系、點(diǎn)到平面的距離等有關(guān)知識(shí)，考查空間想象能力和思維能力，屬于中檔題．